Boekgegevens
Titel: Oplossingen der vraagstukken, uit het eerste stukje van de Beginselen der meetkunde, van J.C.J. Kempees
Auteur: Stamkart, Johannes Adrianus; Heije, B.; Kempees, J.C.J.
Uitgave: Amsterdam: Weijtingh & Brave, 1860
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: IWO 669 H 18
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_205366
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Oplossingen der vraagstukken, uit het eerste stukje van de Beginselen der meetkunde, van J.C.J. Kempees
Vorige scan Volgende scanScanned page
52
Fijx. 131.
A F
Vraagstuk 141.
Zij (Fig. 131) P het gegeven punt,
waaruit de loodlijnen PD, PE, PF op
de zijden AB, BC en AC zijn nederge-
laten. Trek de loodlijn BG en door P
eene lijn 111, die BG in K snijdt, even-
wijdig aan AC, dan is BHE een gelijkzij-
dige driehoek, omdat alle hoeken 6U°zijn.
Nu heeft men vooreerst GK = PF. De
driehoeken DPH en EIP zijn gelijkvormig, dit geeft de even-
redigheid:
PD : PE PU : VI
aai uit kan afgeleid worden
PD-^PE:P^I-^-PI —PDrPii
dat is: PD-^PE : 111 PD : PH
of PD-HFJi: Bli=PD:Pli
Maar A DPH is ook gelijkvormig met A BHK, dit geeft
de evenredigheid:
PD:Plir=BK::Bli
en deze met de vorige evenredigheid verbindende komt er:
PD4-l'E:BlIr=BIC:BIl
^^aa^uit volgt PD -F- PE =BK:
en eindelijk PD PE 4- FF — BK -h GK = BG.
Deze stelling kan nog op de volgende wijze worden bewezen:
Vi^. ^^ederom ABC (Fig. 132) de gegevene
gelijkzijdige driehoek, P het gegeven punt
binnen denzelven, waaruit de loodlijnen PD,
PE, FF op AB, BC en AC zijn nedergelaten.
Trek door P de lijnen aó^ a*6' a'L' res-
pectievelijk evenwijdig met AB, BC en AC,
dan ontstaan rondom P de gelijkzijdige drie-
3 hoeken Paa", P/vA" en Pfl^', die de loodlijnen
uit P op de zijden des driehoeks tot hoogten hebben. Noe-
mende nn de hoogten PD, PE, PF respectievelijk //, //j
en de hoogte des driehoeks II, dan heeft men wegens de

Aa FOö'
\E