Boekgegevens
Titel: Oplossingen der vraagstukken, uit het eerste stukje van de Beginselen der meetkunde, van J.C.J. Kempees
Auteur: Stamkart, Johannes Adrianus; Heije, B.; Kempees, J.C.J.
Uitgave: Amsterdam: Weijtingh & Brave, 1860
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: IWO 669 H 18
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_205366
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Oplossingen der vraagstukken, uit het eerste stukje van de Beginselen der meetkunde, van J.C.J. Kempees
Vorige scan Volgende scanScanned page
167
dus blijft er voor APC over:
Z.APC = 360° — (AAPB + Z_BPC) =: 120°
waaruit volgt, dat de cirkel ora den gelijkzijdigen driehoek ACF
beschreven ook door P gaat en dat P het gevraagde punt is.
Dat het punt P niet buiten den driehoek kan liggen is dui-
delijk, omdat, als het b. v. in P' binnen den hoek ABC en
buiten AC lag, de punten A en C zouden gezien worden onder
eenen hoek , gelijk aan de som der hoeken, onder welke de
punten A en B, B en C gezien worden , want men heeft :
L AP'C = l_ AP'B + L BP'C
en dus zouden de gezigtshoeken niet gelijk kunnen worden.
Is een der hoeken, b. v. /_ ABC = 120°, dan valt het
punt P in B, zoo als ligt te zien is. Is diezelfde hoek groo-
ter dan 120°, zoo valt dit punt buiten den driehoek, omdat
de hoek tusschen de lijnen, uit een punt binnen eenen driehoek
naar de uiteinden der basis getrokken , grooter is dan de top-
hoek. De oplossing is dus oneigenlijk.
Van dit vraagstuk kan eene nog een-
voudiger constructie gegeven worden..
Vereenig wederom (Fig. 320) de drie
gegeven punten door regte lijnen, Zoo-
dat daardoor de driehoek ABC ontstaat.
Beschrijf op de zijden de gelijkzijdige
driehoeken ABF, BCD cn ACE. Ver-
eenig de toppen D en F" der twee eerste
driehoeken met de overstaande hoekeu
des driehoaks, door de lijnen AD, CF. deze lijnen zullen
elkander in écu punt P doorsnijden, dat alsdan het gevraagde
zul wezen. Want vooreerst heeft men;
ABD L ABC -h L CBD = L ABC -+- 60"
LCBF LABC -f- /ÜABF = Z. ABC -f- 60°
dus /.ABD — /_CBF
verder BD i=z BC en AB = BP
dus is A ABD gelijk en gelijkvormig met A BCF waaruit volgt;