Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
>
DIFFERENTIAAL-REKENING. § 60 eyj 61. 51
daar mi deze reeksen dezelfde zijn, die wij hoven voor de
ontwikkeling van Cos x, Sinx en Boog Tang x gevonden heb-
ben, zoo volgt hieruit:
x\/—I —aj/—l xj/—1 —xi/—I
Cos x=-±f-(1), Sin X =--- (2)
S 21/— I ^ ^
Boog Tangx =---Nep Log ' ^ ^ ~ ' .... (3)
2\/ — i i—xy'—i
Deze formulen geven lot zeer belangrijke gevolgen aanlei-
ding. Stellen wij, namelijk, in de twee eerste nx in plaats
van X, dau verkrijgen wij:
nx\/—I —nx^—I nx\/—l —wxj/—I
Cosnx=---a).Sinnxz=^-- (5),
1 ^ ' 2 t/—I
Uit de vergelijkingen (1) , (2), (4) en (5) wordt gemakkelijk
gevonden:
x\/—I nx\/—I
e =Cosx-\-Sinx\/—\<^),e —Cosnx-\-Sinnx\/—\ (8)
-.rj/-i -nx\/~i
e z=zCosx—Sinx\/~\(y),e —Cosnx—Sinnx\/—1(9),
j Brengen wij nu (6) en (7) tot de magt n, dan worden de
eerste leden dezelfde als die van (8) en (9), waaruit volgt:
Cos nx + Sin nx [/— i=(Cos x + Sinx y/—j)" (10)
Cosnx— Sinnxi/— i'z=:(Co8x—Sinx]/^ïy' (11)
en uit deze formulen wordt door optelling en aftrekking gevonden:
Cosnxz=i {(Cosx-i- Smx\/— iy + (Cosx — Si/lx j/ — i)»j (12)
^(Cosx-\-Sinxi/—i)n—(Cosx—iSinx\/—})n^^(13)
ontwikkelen wij dus (Cosx^ S/u x i/— i)'» door liet binomium
van NEWTON, dan verkrijgen wij , wanneer wij de coëfficiënten
n. «(«—i) n(/i-~j) (n—2) 1 - i- . 1 .
— , —i--, —-^-', enz, van liet binomium kort-
1 ' 1.2 ' 1.2.3
12 3
beidsbalve door («), (n), (n), enz, uitdrukken,
2 4
Cos nx — Cos" X — (n) Cos"^x Sin^ x -f (») Cos" —4 Sin'^ x ,,..
— («) Cos"-<^x Sin^x (n) Cos"-^ x Sin^x—enz. (14)
,3.
Sin nxzz:{n) Cos"— ^ x Sin x — (n) C09"— ^ x Sin ...........
s 7
+ (n) Cos''-^ X Sin^ X — (n) Cos'*-^ x Sin^ x -f- enz. (15)
D 2