Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
40 BEGINSELEN der
gelijk zijn, dan hebben wij in de Stelkunst bewezen, dat dezelve
niet anders zijn, dan eene zelfde functie, welke alleen onder
verschillende vormen geschreven staat. Hieruit volgt dus, dat al
de achtereenvolgende differentiaal-quotienten van het eerste lid
eener identieke vergelijking identiek moeten zijn met de achter-
eenvolgende gelijknamige differentiaal-quotienten van het tiveede
lid. Deze opmerking kan ons dienen, om op eene gemakkelijke
wijze, door middel van de differentiaal-rekening, eene wille-
keurige funetie van eene veranderlijke grootheid a;, in eene reeks
te ontwikkelen, welke volgens de magten van ar opldimt. Stellen
wij namelijk, dat y eene willekeurig gegevene funetie van x is,
en stellen wij voor de ontwikkeling van deze functie:
y = A-l-Bar + G.ir» + Da:3-f.Ear4 + enz.
dan zullen wij, omdat deze vergelijking voor alle waarden van x
moet doorgaan, hebben:
=B-l-2Gar-f3Dar« + 4E.ir3 + enz.
d ar

Zx^
Py

= 2C + 2.3Dar-}-3.4Ear»4-4.5Far3-|- enz.
= 2.3D -j- 2.3.4EX + 3.4.5.Fa:^ + ewa.
— 2-3-4-E-f2.3.4-5-F^ + 3-4-5-6.Ga:='-|- enz.
enz. enz.
Daar nu de oorspronkelijke vergelijking identiek is, zijn ook
al de afgeleide vergelijkingen identiek, en zij moeten dus ook
doorgaan, wanneer a; o genomen wordt. Verder zijn ons,
omdat y eene gegevene functie van ar is, al de functiën
S'y
' ^y liinnen dus gemakkelijk
bepalen, waarin deze functiën overgaan, wanneer ar — o gesteld
wordt. Onderstellen wij alzoo, dat, door de stelling van x=zo,
de functiën y, enz. overgaan in U, US U",
C ar c X ö ar^
enz., dan verkrijgen wij, door in de gestelde en in al de
afgeleide vergelijkingen a: = o te stellen,
Ur=A,U^=:B,U"=2C,U"' = 2.3D,U" = 2.3.4.E,e«!5.
waaruit volgt: