Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
INTEGRAAL.REKENING. § 277 ew 278. 391
§ 277. Somwijlen kan het ook te pas komen den inhoud te
berekenen van het ligehaam, voortgehragt door de omwenteling
van eenigen polairen sector OPP', Fig. 35, om den oorsprong
OX der hoeken. Het ligehaam voortgehragt door de omwen-
teling van het oneindig kleine driehoekje POp, is alsdan de
differentiaal van den inhoud des ligebaams. Nu kan men gemak-
kelijk bewijzen, dat het ligehaam, door de omwenteling van
eenen driehoek voortgehragt, gelijk is aan den inhoud van
de%en driehoek, vermenigvuldigd met een derde van de som
der cirkelomtrekken, door de drie hoekpunten doorloopen (*).
Dit aannemende, hebben wij, omdat drieh. OP/j = ^ z" 3<P
en de som der gezegde omtrekken 4Jir of 423- Sin 0 is,
=z . z^ Sin 030, waardoor V = f«-Xz^ Sin030,
welke integraal, om den inhoud, door sector OPP' voortge-
hragt, aan te toonen, van 0= AOP =» tot 0 = A0P'=/3
zal moeten genomen worden.
VoouiiEELD. Onderstellen wij, dat de gewone epicycloide,
Fig. 39, om de as KOX wentelt'?
Daar hier z = 4a Sin"\ 0 is, vinden wij:
V= ^"a^rfSin^i0.Cosi 0 .i 0 = t Sin' è
nemende dus de integraal van 0 = o tot 0 = a-, dan komt er,
voor den inhoud van het geheele ligehaam, Dit ligehaam
is alzoo gelijk aan zestienmaal den bol, die den straal van den
voortbrengenden cirkel tot straal heeft.
Over het berekenen van de oppervlakken der ligchamen.
§ 278. Ten opzigte der omwentelingsligehamen, hebben wij
voor de differentiaal des oppervlaks, in § 151, reeds gevonden
30 = = 2Jry\/(3x" ci^y^), en hiernit volgt voor
het oppervlak:
O == = + ily^),
welke integraal gevonden kan worden, zoodra y eene bekende
functie van x is. Het zal niet noodig zijn, het gebruik dezer
formule door vele voorbeelden op te helderen, en wij hepalen
ons alzoo tot de volgende.
(*) Men lie oiider andere dit bewijs: Veriamding van ft^itkiindige
Foonlcllen, Deel II. Foortlel CXXXI.