Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
376 BEGINSELEN mn integraal-rekening,
waaruit: s = z — Log --^ + C.
2 !. m
Brengen wij hierin z = V(rn" y') oyer, dan komt er, de
integraal zóódanig bepalende, dat zij voor x = o of y = i
verdwijnt,
8°. Voorbeeld. De lengte mn eenen boog der epicyclotde Ie
vinden?
De polaire vergelijking z:=: 2 a (i—Cos (p) = 4 a Sin" §4) zijnde
(§162), zoo hebben wij 8s =-[/(z" 8(p''+ 8^^)=4aSini(p8<P,
waaruit wij , in de onderstelling dat de boog bij 0 = o moet
aanvangen, vinden s = 8 a (i — Cos i 0) — 16a Sin" i 0. Voor
de geheele lengte vinden wij dus, 0 —ztr stellende, s=i6a,
en de geheele lengte van de epieyeloïde is dus gelijk aan acht-
maal de middellijn der gelijke cirkels, die over elkander rollen.
9°. Voormeld. Laat gegeven zijn de spiraal van Archimedes?
r ^
De vergelijking z —^ zijnde, zullen wij, alles in z uit-
drukkende, vinden 0^'+ 88+
r 4 ^
en vergelijken wij deze differentiaal-formule met die, welke wij
in het vijfde voorbeeld voor de parabool gevonden hebben, zoo
blijkt hieruit, dat de lengte van eenigen boog der spiraal van
Archimedes, begrepen tusschen de pool en de ordinaat z, gelijk
zal zijn aan den boog van eene parabool, welke — tot para-
ÏT
meter heeft, en begrepen is tusschen den top en de ordinaat z.
In deze parabool en dc spiraal zullen dus, tusschen gelijke or-
dinaten, gelijke bogen begrepen wezen.
10°. Voorbeeld. Laat de hyperbolische spiraal gegeven zijn?
Daar wij voor deze kromme lijn gevonden hebben 0 ~ ,
z
zoo is 8s = \/{z"80^ i = — + z"), en wan-
neer wij deze differentiaal-formule met die van het zevende voor-
beeld vergelijken, zullen wij bespeuren, dat de lengte der bogen
^an onze kromme lijn overeenkomt met die van eene logarith-