Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
374 BEGINSELEN mn integRaal-rekening,
hetwelk volkomen overeenstemt met hetgeen wij uit de figuur
gevonden hebben.
De juistheid en het onderling verband onzer formulen alzoo
ten duidelijkste aaugetoond hebbende, gaan wij tot andere voor-
beelden over, waarbij wij echter alleen van regthoekige en po-
laire coördinaten gebruik sullen maken.
2". Voorbeeld. De lengte van eenigen cirkelboog te vinden?
De middelpnntsvergelijking x^ -J- j® = a® zijnde, hebben wij
Lier äs'= + cTy^) = ^ = y^^^Zx^) =
X
s — a Boog Sin —,
a
welke uitdrukking, indien wij bij x ■=. o aanvangen, geene
standvastige behoeft en klaarblijkelijk met de waarheid overeen-
komstig is.
3". Voorbeeld. Be. lengte
van eenigen elliptischen boog te
berekenen ?
De middelpuntsTcrgelijking is y'^ = — (a^ — x^). Hierdoor
zal men vinden c^s ^^^—-^rr—welke, door
geene kunstgrepen rationaal te maken zijnde, niet anders dan
door eene reeks geïntegreerd kan worden. Stellen wij ter
bekorting de halve groote as a = i en de uitmiddelpuntigheid
^/(a» — ja^ — e, dan wordt de hoog uitgedrukt door:
welke integraal wij in § 222 reeds door eene reeks hebben
leeren vinden, welke spoediger convergeert, naarmate e kleiner
is en de ellips bij gevolg nader bij den cirkel komt.
Stellen wij in deze reeks x waardoor P = i wordt,
dan vinden wij voor een vierde van den omtrek der ellips:
2 2.2 2.2.4.4 2.2.4.4.6.0 2.2.4.4.6.6.8.8
welke reeks sterk convergeert, indien e eene kleine breuk is.
4». Voorbeeld. Be lengte van eenen boog der hyperbool te
vinden ?
b^
De middelpuntsvergelijking ji" = — (x® -- a®) zijnde, zul-