Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
372 BEGINSELEN mn integraal-rekening,
■j
daarom^ dat men het vinden der formulen, waardoor de lengte
dezer hogen wordt uitgedrukt, met den naam van rectificatie
of regtmaking der kromme lijnen bestempelt.
Voor regtstandige coördinaten hebben wij, den boog s stel-
lende, in § 147 reeds gevonden = cf/^), en
hieruit volgt voor de lengte van eenigen boog:
.1 = + .....(1),
welke integraal, van x — a tot x b genomen, de lengte
van eenigen boog voorstelt, waarvan de uiteinden a en Z> tot
abscissen hebben.
Snijden de coördinaten elkander onder eenen hoek «, Fig.hZ,
en stellen wij PP' r= ^x en bij gevolg M'Q = dan is
L MQM' = l8o° — a. Beschouwen wij dus de differentiaal
MM' = c^« van den boog als een regt lijntje, hetwelk, daar
P en P' en dus ook M en M' twee achtervolgende punten zijn,
zeer geöorloofd is, dan geeft ons het driehoekje MQM':
^s = -I- ^y" + 2 ^x^y Cos cc),
en wij hebben bij gevolg in dit geval:
^ + + ëy" + 28X 3y Cosec)----(2).
Voor het geval, waarin de ordinaten uit een zelfde punt voort-
komen , en waarin de kromme alzoo door derzelver polaire ver-
gelijking gegeven is, hebben wij in § 153 reeds gevonden
= -I- en hieruit volgt:
s rz: fx/{z-8r + .........(3)
en zal deze uitdrukking de lengte van eenen bepaalden boog
aanwijzen, dan moet de integraal tusschen de abscissen Cp —a
cn Cp — ^ genomen worden, die tot de uiteinden van den boog
behooren.
Het Voorstel der rectificatie hierdoor in het algemeen opge-
lost zijnde, blijft er niets over, dan de toepassing op eenige
voorbeelden.
1». Voorbeeld. Stellen wij, ten einde de resultaten gemak-
kelijk te kunnen verifiëren, dat de voorgestelde kromme eene
regte lijn is.
Zij OM, Fig, 54, de voorgestelde lijn, welke wij, ter be-
korting door den oorsprong O laten gaan, dan is derzelve/ ver-
gelijking voor regtstandige coördinaten y ■=:. x Tang en dan
toont de figuur ten duidelijkste aan, dat wij, van den oorsprong