Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
INTEGRAAL-REKENING. § 269. 361
1°. Voorbeeld. Laat de vergelijking der kromme lijn zijn
ym — pm-i n xn?
Deze vergelijking, welke voor m a en n \ die van de
parabool is, geeft in het algemeen:
y p m xm , en dus y^X p m. X m^X-,
zoodat wij voor dezelve vinden:
7n »-f- m
I — Sy^x —-p » m .
n 7n
Onderstellen wij, dat de inhoud van den oorsprong gerekend
wordt, waarin ar en y heide o zijn, dan behoeft bij de gevon-
dene integraal geene standvastige gevoegd te worden, omdat
zij voor x = o reeds verdwijnt, en wij kunnen dezelve alsdan
onder deze gedaante sebrijven :
m—Tl Tl
Inv - --ub
— - X p X m X — -yx.
n m n m
Al de kromme lijnen, door onze vergelijking voorgesteld, heb-
ben dus de eigenschap, dat derzelver inhoud gelijk is aan -
m-\-n
maal den omgeschrevenen regthoek der coördinaten.
Voor do parabool is ot — 2 en ra = i eu bij gevolg
—— — |. De inhoud van eene parabool is dus gelijk aan
twee derde van den omgeschrevenen regthoek.
2". Voorbeeld. Laat de kromme lijn een cirkel zijn ?
Nemen wij, Fig, 45, den oorsprong der abscissen in het mid-
delpunt, dau is de vergelijking y" — a" — x" waaruit
I = Sy8x = f8xi/{a" - X"),
en wij hebben alzoo, volgens § 190,
I = § a; V(a" — x") + \ a" Boog Sin —+ C.
a
Zal nu deze formule den inhoud van het stuk MPP'M' voor-
stellen, dan moet de integraal tusschen de grenzen a; = OP en
X — OP' genomen worden. Voor den inhoud van den geheelen
cirkel moeten wij alzoo de integraal nemen van x — — a tot
X a, cn de uitkomst verdubbelen. Dit geeft ons voor-
eerst, door X = — a te stellen, C = — f a" Boog Sin (— i)
=z ~ i a" X — § !r = J a' y, en dus, door a- = a te nemen.