Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
358 BEGINSELEN mn integraal-rekening,
voegende hierbij nu eene willekeurige standvastige, en sehrijven-
de in plaats vanP, Q, B., enz. derzelver waarden, dan komt er:
= X---—--\-enz.
^ 1 1.2 dx 1.2.3 1.2.3.4
Deze reeks is bekend onder den naam van de reeks van Ber-
nodlli, en is ten opzigte der integraal-rekening hetzelfde, wat
de formule van ïaylor ten opzigte van de differentiaal-reke-
ning is.
Zie hier nog eene andere ontwikkeling, die uit de reeks van
Maclaurhv wordt afgeleid; volgens die reeks is (§ 42)
, _ U' U" U'"
F(x) = U H--X + —-1--x^ + enz.,
I 1.2 1.2.3
waarin U, U', U", U"', enz. de waarden beteekenen, die de
functie F (x) en hare achtervolgende differentiaal-quotienten
door de stelling van x o verkrijgen.
Stellen wij nu F (x) fX^x, dan is = X,
- ——, enz. cn dan hebben wii ook de reeks:
U' U" V"
S^^x = u -I--a: H--H--X' + enz.,
I 1.2 1.2.3
in welke U, U', U", U'", enz. de waarden beteekenen, waarin
3'X
fx^x, X, -rr—5 z—-> «iooi' «Ie stelling van a; =: o over-
ga? O X
"gaan. Alleen de eerste dezer waarden U is ons onbekend,
omdat, Xc(^ nog niet geïntegreerd zijnde, in die integraal de
substitutie van x=zo niet geschieden kan; wij behoeven echter
die waarde niet te kennen, want dezelve is standvastig cn kan
derhalve, omdat toch bij iedere integraal eene willekeurige
standvastige moet gevoegd worden, geheel willekeurig worden
aangenomen.
Deze beide reeksen verschillen daarin van elkander, dat de
laatste naar de opklimmende magten van x is gerangschikt, het-
geen met de reeks van Berjioulli het geval niet is.
Om door een enkel voorbeeld te doen zien, dat dezelve de
■ware uitkomst leeren vinden, nemen wij 4- ,v)"» ^x, waar-
{a + a;)"»-!"!
van wij weten, dat---C de waarde is. Passen
m -j- I
wij hierop de eerste formule toe, dan hebben wij: