Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
I^"^EG1\AAL-REKENING. § 265. 353
/leeft gesteld, en de eerste uitkomst van de laatste heeft afge-
trokken, en Let is op deze begrensde integralen, dat wij, bij
de oplossing van .alle bepaalde vraagstukken, die tot integraal-
formulen aanleiding geven, op bet laatst moeten nederkomen.
Onderstellen wij alzoo, dat wij de integraal van X at tusschen
de grenzen x —o. cn x— a'-, of, hetgeen nu overeen uitkomt,
dat wij den inhoud ABCD, begrepen tusschen de grenzen AB en
CD, die met OB = a en OD ~ a' overeenstemmen, bij bena-
dering willen kennen, en verdeelen wij hiertoe BD = a' — a
in een willekeurig aantal gelijke deelen, BP — PP'= enz. = ee,
dan zal de inhoud .ABCD klaarblijkelijk begrepen zijn tusschen
de som van de inwendige regthoeken Ba, Pot , P'ot' , enz. cn
de som der uitwendige regthoeken BM, PM, P'M", enz. In-
dien wij dus de som dezer inwendige en uitwendige regthoeken
elk in bet bijzonder berekenen, zullen wij twee waarden S en
S' verkrijgei^, waartusschcn de gevraagde begrensde integraal
begrepen is, en deze zullen meer en meer tot elkander naderen,
naarmate men meer gelijke deelen in BD heeft aangenomen.
Stellen wij dau, dat men n gelijke deelen in BD = a' — a
heeft aangenomen, zoodat a' — a = 77a is, dan zijn AB, MP,
M'P' enz. de waarden, die X verkrijgt, door de achtervolgende
stelling van x = a, x = a ec, x — a -f 2«, enz., tot
X =. a nee of x a'. Noemen wij alzoo deze verschillende
waarden van X achtervolgens A, Aj, A^, A3, enz. tot A»,
dan zullen wij klaarblijkelijk voor de som der inwendige regt-
hoeken hebben:
S = «A -(- «eAj «Aj -f «A^ enz.....-f aAn—i,
en voor de som der uitwendige regthoeken:
S'=: «Aj-)- «Aj 4- eeAj -[- «A^ enz.....-)- «An,
zoodat de gevraagde waarde van ƒ Xcfx begrepen zal zijn tus-
schen de uitdrukkingen:
S a (A -[- Aj -f A^ -f Aj -)- enz.....A„_,)
en S'= ee (Aj-f A^ + A3 -)- A4 enz.....A„).
Hieruit volgt, dat wij nog nader bij de waarheid zullen ko-
men, wanneer wij de halve som dezer uitdrukkingen nemen,
hetgeen overeenstemt met de som der trapeziums te berekenen.
Dit geeft ons voor dc benaderde integraal:
4 (S4-S') = «(Aj-j-Aj-f As + en!5.+ J <«(A-f A„).
Z -