Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
352 BEGINSELEN mn integraal-rekening,
Over het integreren bij benadering.
§ 265. Wij hebben reeds opgemerkt, dat, wanneer het inte-
greren van eene differentiaal-formule niet slaagt, men tot de
oneindige reeksen toevlugt kan nemen. Het is ondertussehen
dikwijls zeer moeijelijk, reeksen te vinden, welke genoegzaam
convergeren, om van dezelve met eenige vrucht gebruik te kun-
nen maken, en dit heeft naar andere middelen doen omzien,
welke in zulke gevallen de gevraagde integraal bij benadering
doen kennen. Eer wij tot derzelver verklaring overgaan, zal
het echter noodig zijn te zeggen, wat men door het integreren
tussehen grenzen of limieten verstaat.
De formule J^XHx stelt den inhoud voor van eene kromme
lijn, waarvan de vergelijking is y = X. Laat ZZ', Fig. 43,
deze kromme lijn zijn, dan hebben wij namelijk volgens § 148
voor de differentiaal van den inhoud y^x = X^x, waaruit
het gezegde blijkbaar is. Deze differentiaal X^x is nu onder-
tusschen niet alleen de differentiaal van den inhoud OKMP,
maar tevens van den inhoud AMBP, waar dan ook de ordinaat
AB mag staan. Hieruit volgt dan, dat de integraal J^X^x,
welke dezen inhoud aanduidt, geheel onbepaald is, zoo lang
de stelling van de ordinaat AB, van welke wij den inhoud
beginnen te rekenen, niet gegeven is. Is echter de abscis OB,
die met deze eerste ordinaat overeenstemt, gelijk a gegeven,
dan zullen wij^ ten einde den inhoud AMPB te verkrijgen, de
willekeurige standvastige, die men bij J^X^x moet voegen,
om dezelve volkomen te maken, zóódanig moeten aannemen,
dat de integraal voor x = a verdwijnt; cn wanneer wij dan
verder den inhoud ABDC willen kennen, zullen wij, in de
hierdoor ontstaande bepaalde of verbeterde integraal, x gelijk
moeten stellen aan de abseis OD van de ordinaat CD, die den
gevraagden inhoud aan de andere zijde begrenst. Stellen wij
nu deze abscis OD door x — a' voor, dau zegt men, dat op
deze wijze de formule X Hx tussehen de grenzen a: = a en
X = a' geïntegreerd is. Deze uitdrukking wil dus niets anders
zeggen, dan dat men vooreerst de standvastige zóódanig be-
paald heeft, dat de integraal voor x = a verdwijnt, en daarna
x—a' heeft gesteld, of, hetgeen op hetzelfde nederkomt, dat
mm, in de onbepaalde integraal, voor x achtervolgens a en a'