Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
INTEGRAAL-REKENING. § 217 tot 219. 313
Nemen wij x = —, dan zullen wij vinden:
4
4-++ii?++=7 3 - ==.
Nemen wij de som dezer reeksen, dan komt er:
5 , >7 , <55 , 257 , 3
— -i--— --- --- + enz. = —
4 2.3.4=' 3-5-4' 4-74^ 2
van welke laatste reeks de algemeene term is —'-, en
re (2 ra— 1)4"
het is niet moeijelijk hieruit de som van zeer vele andere reek-
sen af te leiden.
§ 229. Gaan wij nu over tot het integreren van de formule
X^x Log"x.
Stellen wij J^X^x —X^, dan geeft de algemeene herlei-
dingsformule ons:
S^HxLognx = Xj^Log^x — X^iH-J^og" x
X Hx
— Xi Log" X — n S—-Log" x,
X
waarin nu de exponent van Log x met de eenheid verminderd is.
X X
Stellen wij alzoo --= d^Q zullen wij op dezelfde
x
wijze hehhen:
ƒ ^^^Log" '-'ATj Log" x — (re — i) ^x;
X X ,
gaat men alzoo op deze wijze voort, cn kunnen de achtervol-
gende integralen: i
.'^iHx_^ pX^Hx
X X
alle gevonden worden, dan zal men, wanneer re een geheel
positief getal is, eindelijk nederkomen op het integreren eener
formule van den vorm J^V^x Log x, welke wij reeds behan-
deld hebben.
Substituëren wij de achtervolgende integralen in elkander,
dan verkrijgen wij :
J^XHxLog"x-=iX^ Log" x—reX^ Log" —•A--l-re(re—i)X3 Log" "^'x
......—n{n — i)[n — 2)X^Log''-^x-\-enz.
en deze reeks, welke nu onze integraal voorstelt, zal een eindig
of oneindig aantal termen hebben, naarmate re een geheel of
gebroken getal is.