Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
312 beginselen deb
Hier is X —en dus X' = TX^x =--Verder
X v^x \/x
is V —^—, dus = ———, waardoor wij verkrijgen:
i-X i — x^
r8x i 1 i , r ^^^
rri^ = - + ƒ IT^iöTA'
voor deze laatste integraal vinden wij, door de bekende regels,
en wij bebben bij gevolg:
f Log Uog +
xi/x " I—X L i — \/x J
Willen wij de integraal door middel van eene reeks uitdruk-
ken , dan schrijven wij dezelve onder den vorm:
-S8x. x~'^Log{i~x) = + f8x + + en%.) i
en wij vinden alsdan, term voor term integrerende,
f-^- .Log— —
xVx " i~x ^ ^2.3 ^ ^3-5 4-7
Daar beide uitdrukkingen, die wij voor onze integraal gevon-
den hebben, voor x = o verdwijnen, kunnen wij dezelve aan
elkander gelijk stellen, of de laatste als de ontwikkeling van
de eerste beschouwen. Wij zullen alzoo, na aan beide zijden
met i i/x vermenigvuldigd te hebben, vinden:
r4- —— x^ x*-\- enz. = i/x. Log (i—x),
2.3 3-5 47 -"i—Vx
of het laatste lid behoorlijk herleidende:
^'J ó'5 T*/
welke vergelijking nu voor alle waarden van x zal doorgaan.
Wij hebben dit voorbeeld uitgekozen, om te doen zien, hoe
wij door middel van het integreren tot de sommering van som-
mige oneindige reeksen kunnen geraken. Stellen wij, bij voor-
beeld , X =: I, dan verkrijgen wij, omdat z Log z voor z = o
overgaat in o, en dus ook (i — \/x) X Log (i — \/x) voor
* = I in O overgaat,
I I I i 1
i-i--- ---1---1--+ ---f- enz. = 2 Log 2.
2.3 3-5 4-7 5-9 6.11