Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
INTEGRAAL-REKENING. § 217 tot 219. 311
waaruit dan verder volgt:
y--Logx — — LogX.Log{i—x)—« — \ x^ — ^x^ — enz.,
i X
en deze integraal verdwijnt voor x = o^ want ofschoon hier-
door Log X. Log (i — = co X o wordt, hebben wij , om deze
waarde te bepalen, slechts te schrijven:
Log X Log [\ —x)—— Logx.{x\hx'^ -f- fx^ + ew».);
daar nu x» Log x voor elke positieve waarde van n, in de onder-
stelling van a; = o, mede gelijk o wordt, zoo zullen in deze
onderstelling al de termen van onze reeks o worden, waaruit
bet gezegde blijkbaar is.
Wij kunnen onze integraal ook op eene andere wijze in eene
reeks uitdrukken. Schrijven wij namelijk:
/t^^»»^-
dan vinden wij. Log (i — (i — x)) volgens de magten van
(i — x) ontwikkelende, cn vervolgens integrerende,
(fx
f- Logx=C+{i — x} + — -t- lii—xy+enz.
i — X
Zullen nu deze twee integralen voor eene zelfde waarde van
X overeenstemmen, dan moet C zóódanig genomen worden, dat
ook nu de integraal voor at — o verdwijnt, en dit geeft:
enz.) C).
§ 228. De meer algemeene formule J'X^x Log V, waarin
zoowel X als V eene algebraïsche functie van x voorstelt.
Iaat zich op dezelfde wijze behandelen. Stellen wij namelijk
XXafx = X', dan is,
fX^xLogY = SLogY^X' = X'LogY - /X'^;
is alzoo door de eerste integratie X' eene algebraïsche functie,
3'V
dan zal ook ƒ X'de integraal van eene algebraïsche diffe-
rentiaal-formule voorstellen, en bij gevolg geïntegreerd kunnen
worden.
8 X I
5°. VooHBEELD. Laüt gegeven zijn- Log-?
x\/x i ~ X
(*) Men kan bewijzen, dat de waarde van deze reeks gelijk is aan
gir- ) dit bewijs zou ons echter te ver afleiden. ;