Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
DIFFERENTIAAL-REKENING. § 159 en 160. 275
cirkel staan, en dus alle uit het middelpunt, dat hier de oor-
sprong der hoeken is, voortkomen. Wij laten het verder on-
derzoek dezer kromme lijnen aan ilen lezer over.
§ 164. 3". Voorbeeld. De mer1»paardigste eigenschappen
van de logarithmische spiraal te vinden?
Door de logarithmische spiraal verstaan wij die, waarvan de
0 .
polaire vergelijking is z a . Uit deze vergelijking hlijkt
terstond, dat, de hoeken 0 met gelijke verschillen en dus in
eene rekenkunslige reeks aangroeijende, de polaire ordinaten
in eene meetkunstige reeks zullen opklimmen, en deze aanmer-
king is reeds genoeg, om de logarithmische spiraal door punten
te construëren. Maakt men namelijk om de pool een willekeurig
aantal gelijke hoeken, en stelt men op de achtervolgende hcenen
punten, waarvan de afstanden tot de pool eene meetkunstige
reeks uitmaken , dan zal men zoo vele punten van de kromme
vinden, als men hoeken heeft aangenomen. Om tusschenpunten
te vinden, zal men elk der hoeken midden door moeten deelen,
en op elke der deellijnen een stuk moeten nemen middenevenre-
dig tusschen de voorgaande en volgende ordinaat. Door onop-
houdelijke middendoordeeling zal men deze punten zoo digt hij
elkander kunnen verkrijgen, als men hegeert. De kromme draait
oneindig veelmaal om de pool, zonder dezelve oj^t te kunnen
bereiken; want omdat eene afdalende meetkunstige ré^eks tot in
het oneindige voortgaat, zonder dat echter een der termen ge-
lijk O wordt, zal geene der polaire ordinaten gelijk nul kunnen
worden , of tot den negatieven toestand kunnen overgaan.
De beteekenis van a in deze vergelijking is niet moeijelijk op
te maken. Voor (p =z i is namelijk z — n; nu wil (p = i
niets anders zeggen dan de hoek, waarvan de lengte des over-
eenkomstigen boogs gelijk den straal is. Is dus AOP, Fig. 42,
deze hoek, welke, >oo als bekend is, ten naasten bij s/"!8'be-
draagt, dan zal de lengte van OP de waarde vau a zijn. Daar
verder cp ~ o, z — i maakt, zoo moeten wij bier OA als een-
OP
beid beschouwen, en hieruit volgt dan, dat eigenlijk nr a is.
Uit de vergelijking z ■=. volgt, dat Cp de logarithmus van
* voor de bazis a is. Beschrijven wij dus uit O met OA als