Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
244 BEGINSELEN dee
voor een gedeelte voorgesteld. Stellen wij, dat voor (^ = 360®,
r
z — OK= r moet wezen, dan is a = -- en de vergelijking
E — r X liet spreekt van zelf, dat (p Lier de lengte van
2 X
den boog in deelen van den straal voorstelt. De eigenscLappen
dezer kromme lijn zijn zoo gemakkelijk te vinden, dat wij er
ons niet verder mede zullen inlaten. Alleen merken wij op, dat
Tanff4' — ~ ^ wordt, Letgeen eeue zeer merkwaardige
eigenscLap is.
2°. Is » — I, dan is de vergelijking « = — of z (p — a.
Deze vergelijking Leeft zoo veel overeenkomst met die van de
Lyperbool op derzelver asymptoten, dat men de kromme lijn,
die aan dezelve beantwoordt, de hyperbolische spiraal genoemd
Leeft. Voor <p=: o wordt z oneindig, en daar —^ = — « is j
ö z
Leeft de kromme, Fig. 41, eene asymptoot, welke op eenen af-
stand a Loven den oorsprong der Loeken gelegen is (§ 156).
Neemt men bovendien in aanmerking, dat voor negatieve waar-
den van (p ook z negatief wordt, dan zal men, daar deze nega-
tieve waarden van z op Let verlengde der polaire ordinaat
moeten worden overgeLragt, bevinden, dat de kromme lijn twee
takken Leeft, die Leide dezelfde asymptoot LeLben, en oneindig
vele omwentelingen om Let punt O maken, zonder er ooit te
kunnen invallen. Deze laatste omstandigLeid zal altijd plaats
grijpen, als .ra negatief is. Is daarentegen n positief, dan zal
de kromme altijd door den oorsprong O gaan.
3". Is n-=. I , dan is z a <p^ ot z- z=z a'<p. De overeen-
komst van de vergelijking dezer kromme lijn en de meer alge-
meene, waarvan de vergelijking is z =: è +• a(p^ , met die
van de parabool, heeft aan dezelve den naam van parabolische
spiraal doen geven, en zij is werkelijk niets anders dan eene
parabool, waarvan de as om eenen cirkel is heengewonden,
waarvan b de straal is; terwijl de ordinaten, die eerst loodregt
op deze as stonden, nu loodregt op den omtrek van dezen