Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
DIFFERENTIAAL-REKENING. § 119. 1()7
in den omtrek van dien cirkel, gedurende deze beweging, eene
kromme lijn AGA' doorloopen, welke de cycloide of roUrek
genoemd wordt.
Men verkrijgt een duidelijk denkbeeld van deze beweging, door
zich een rad te denken, dat over een plat vlak heenrolt. Elk punt
in den omtrek van dit rad doorloopt alsdan eene eycloide.
Ilet is klaar, dat men den cirkel of het rad zoo veel achter-
volgende malen als men wil kan doen omwentelen, en dat men
zich eveneens kan voorstellen, dat deze cirkel reeds onnoemelijk
veel malen heeft rondgedraaid, voor het oogenblik, waarin wij
de beweging laten aanvangen. Hieruit volgt dan , dat de cycloide
uit een oneindig aantal takken moet bestaan, welke de regte
lijn ZZ' in een onnoemelijk aantal punten A, A', enz. moeten
ontmoeten. Het zal geen bewijs behoeven, dat al deze takken
gelijk en gelijkvormig, en de ontmoetingspunten A, A', enz.
op gelijke afstanden van elkander gelegen zijn.
Om van den stand AD tot den stand A'D' te komen, hebben
al de punten van den voortbrengenden cirkel achtervolgens die
van de lijn AA' moeten aanraken, en hieruit volgt terstond,
dal de grondlijn AA' van de cycloide gelijk is aan den omtrek
van den voortbrengenden cirkel; stellen wij dus den straal van
dezen cirkel gelijk r, dan is AA' =r irie.
Even duidelijk is het, dat de cirkel eene halve omwenteling
gedaan hebbende, en dus in den stand BQC gekomen zijnde,
het beschrijvende punt A in C gekomen is, en alsdan deszelfs
hoogsten stand zal hebben bereikt; en daar het even klaar is,
dat de kromme lijn volmaakt dezelfde moet blijven, of wij den
cirkel van A naar A', dan wel van A' naar A doen bewegen,
zoo volgt hieruit, dat de halve eycloiden AMC en CmA' gelijk
cn gelijkvormig moeten zijn, zoodat wij overal zullen hebben:
MP = P/72. Hieruit volgt ook verder, dat, AD loodregt op
ZZ' zijnde, overal MP' rrr P'ot' zal wezen.
Onderstellen wij nu, dat NMR een willekeurige stand van
den voortbrengenden cirkel en M de overeenkomstige plaats van
het beschrijvende punt is, dan hehhen al de punten van den boog
MN achtervolgens de punten van AN aangeraalit, en wij hebben
dus Boog MN = AN, cn daar Boog NMK. = AB = rsr is,
Boog IMK = NT3.