Boekgegevens
Titel: Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Auteur: Schmidt, Izaäk Riewert
Uitgave: 's Gravenhage [etc.]: Gebr. van Cleef, 1837
2e vermeerd. uitg; 1e dr.: 1822
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: 680 D 25
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204767
Onderwerp: Wiskunde: gewone differentiaalvergelijkingen, Wiskunde: reële analyse
Trefwoord: Gewone differentiaalvergelijkingen, Integraalrekening, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der differentiaal- en integraal-rekening
Vorige scan Volgende scanScanned page
108 BEGINSELEN der
vastig wordt; maar men kan toeh vragen: wat men voor ^u
zou gevonden hebben, indien men gedifferentieerd had , alsof y,
in plaats van eene funetie van x te zijn, eene standvastige
geweest ware? het is klaar, dat men dan slechts p^x zou ge-
vonden hebben, even zoo als men slechts q ^y zou verkregen
hebben, ingevalle men gedifferentieerd had , alsof x standvastig
ware in plaats van eene functie van ƒ te wezen. Derhalve bestaat
de differentiaal van (x, y), waarin x en y functiën van
elkander %ijn, uit de som der beide differentialen, die men verkrijgt
door beurtelings te differentiëren, alsof x en y, in plaats van
functiën van elkander te %ijn, standvastige grootheden ivaren.
Deze stelling verbindende met die van § 87, blijkt terstond:
dat de eerste differentiaal van de uitdrukking u ¥ {x, y)
volmaakt dezelfde moet wezen, hetzij dat x en y onafhanke-
lijke veranderlijke grootheden, hetzij dat x en y functiën van
elkander zijn; de regels .voor het differentiëren moeten dus
onveranderd blijven, en men zal alzoo, indien x en y onafhan-
kelijk veranderlijk zijn, even als vroeger hebben:
^{x Jr y) — ^x-Ir ^ x^y + y^x-,
^ ^ y^x - xèfy. —
y y^ _ ^
en zoo met al de overigen.
Men ziet dan uit het aangevoerde , dat, om de differentiaal van
u = F (x, y) te verkrijgen, twee handelwijzen kunnen gevolgd
worden: de eerste, door op de gewone wijze te differentiëren;
de tweede, door eens ten opzigte van x en eens ten opzigte van
y te differentiëren, en vervolgens de som dezer differentialen te
nemen. Was bijv. gegeven:
dan zou men, op de gewone wijze werkende, vinden:
ixy (x^x + yh)- (x' + .r') (x^y + y^^)
---—
of na herleiding:
differentiëert men echter de opgegevene functie, eerst ten op-
zigte van X en daarna ten opzigte van ƒ, dan verkrijgt men,
na behoorlijke herleiding.