Boekgegevens
Titel: Elementaire algebra voor lager en middelbaar onderwijs: handboek ten dienste van allen, die zich aan een examen in de wiskunde wenschen te onderwerpen
Auteur: Brogtrop, A.J.M.
Uitgave: Tiel: D. Mijs, 1881
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2318
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_204252
Onderwerp: Wiskunde: analyse: algemeen (wiskunde)
Trefwoord: Algebra, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Elementaire algebra voor lager en middelbaar onderwijs: handboek ten dienste van allen, die zich aan een examen in de wiskunde wenschen te onderwerpen
Vorige scan Volgende scanScanned page
125
Voor p positiel' is de uitdrukking — p een imaginair getal.
De derdemaclit van i/ — p is V(—p)' = —pi/ — p,
dus ook imaginair; geen imaginair getal kan derhalve een derde-
machtswortel van 27 zijn. Voor reëele waarden van a en b is
a -f- h 1/ — 1 een complex getal.
Onderstellen wij, dat a -}- b 1/ — 1 een derdeniachtswortel van
+ 27 zij, dan moet (a-f bl/ —1)^ gelijk aan + 27 zijn.
Nu is (a + b l/— 1Y gelijk aan a» + 3a®b 1/ - 14-3a (hl/—1)«
+ (b 1/ — 1 = (a^ — 3ab2) + (3a® b — b») 1/ — 1.
Zal deze ontwikkeling gelijk aan het reëele getal -f- 27 zijn, dan
moet hel imaginaire gedeelte wegvallen ; 3a® b — b®orb(3a®—b®)
moet dus gelijk aan nul zijn.
Daar b niel nul mag wezen , moet 3a® — b® nul zijn en hebben
wij de vergelijking:
3a® — b® = U , waaruit volgt b® = 3a®, b = + a 1/ 3.
Door hel wegvallen van het imaginaire gedeelte in de ontwik-
keling van (ab 1/ — 1)® blijft era® — 3a b® over, hetwelk vol-
gens de onderstelling de waarde 27 heelt.
Vervangen we b® door 3a®, dan komt er a® — 3a X 3a® = 27
of — 8a3 = 27, a» = — V = (— f)®, a = — |. Uit b = ± a 1/3
volgt b = ± (— I) l^' 3 of -I- I 1/ 3 en — I 1/ 3.
Bij onderstelling is a -j- b 1/ — 1 een derdemachtswortel van
-f 27. Substitueeren wij voor a en b de gevonden waarden, dan
verkrijgen wij — | ± | 1/ 3 1/ — 1 of — | ± 11/ — 3.
De derde machlsworlel uil een reëel getal heeft derhalve een
driezinnige waarde: één reëele, en twee (toegevoegde)
complexe.
§ 2. Wij vonden vroeger twee verschillende waarden voor een
vierkantswortel en nu drie verschillende waarden voor een derde-
machtswortel. .\lvorens verder te gaan en te onderzoeken of een
vierdemachtswortel vier verschillende waarden, een vijfdemachts-
wortel vijf verschillende waarden, een ne-machtsworlel, in de on-
derstelling, dat n positief geheel is, ook n verschillende waarden
heeft, gaan we bewijzen, dat voor p en q positief geheel een
pe-machtswortel uil een qe-machlswortel van een getal een pqe-
machtsworlel uil dal getal is.