Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Tweede stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1862
3e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5272
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202807
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
83
Dit zijn niet de driehoekige piramiden, waarvan in onze stelling
sprake is; om deze te krijgen, brengen wij nog een vlak door
de punten D, B en C, en een ander door de punten F, A en B;
daardoor toch ontstaan de drie driehoekige piramiden
EABC, DABG en FABG,
die ieder in 'tbijzonder op het grondvlak ABC van het afgeknot
prisma staan, en hare toppen in de hoekpunten D, E en F van
het bovenvlak hebben.
Wij moeten nu nog slechts aantoonen , dat de drie eerstge-
noemden respectievelijk gelijk zijn aan de drie laatstgenoemdeti;
want daardoor zal onze stelling bewezen zijn.
Wat het eerste paar betreft, de piramide EABC bij de eerste
verdeeling is volmaakt dezelfde als de piramide EABC bij de
tweede.
Wat het tweede paar l>etreft, beschouwen wij het punt E als
den top der piramide EACD, en het punt B als den top der pi-
ramide DABC, die wij daarom nu BACD zullen noemen (§ 243 ,
Aanm.) Alsdan hebben deze piramiden een gemeenschappelijk grond-
vlak ACD, en hare toppen E en B zijn gelegen in eene lijn EB,
die evenwijdig loopt aan het grondvlak ACD. Dien ten gevolge
hebben zij ook gelijke hoogten, en derhalve is (§ 278, Gev.):
pir, EAGD = pir. BAGD.
Wat eindelijk het derde paar betreft, beschouwen wij het punt
E als den top der piramide ECDF, en het punt B als dien van
de piramide FABC, welke wij daarom BAGF zullen noemen. De
grondvlakken GDF en ACF dezer piramiden zijn dan onderling
gelijk (§ 162, Gev.), en de toppen E en B der piramiden
liggen weer in eene lijn EB, die evenwijdig loopt aan het vlak ACFD,
waarop beide grondvlakken staan. Zij hebben dus ook gelijke
hoogten, en derhalve is:
pir. ECDF — pir. BACF.
Gevolgen. 1®. Indien wij het grondvlak ABC door G voorstellen,
en de loodlijnen . die men daarop uit de punten D, E en F van het bo-
venvlak kan neerlaten, resprclievclijk door , ecu f; dan is (§ 278);
pir.DWiC — ldXG; pir. EABC = -<eX ^V , en pir. hWWC-I f xC,
Nemen wij hiervan de som; dan -is op grond der pas bewezen
stelling:
afgekn. prisma ABCDEF ~ i{d +ef)x G ;