Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
50
Trekken we nu uit de deelpunten F, G ea U de lijnen Ff, Gg ea Bh
evenwijdig aan AG, dan volgt blijkens § 78 uit BF =r DA , dat Bf = EG is uit
DG=rFD, dat Eg=fE is, en uit FH = fiD=:GA, dat fh = hE = gG is.
Had men dus de grootste gemeene maat van BE en EG gezocht, dan zou
men daarbij op de deelpunten f, g en h neêrgekomen zijn; men zou derhalve
uok vinden:
BE:EC=:11, 1, 21.
Uit de gelijkheid der betrekkingswijzers volgt die der verhoudingen, dus:
BD : DA = BE : EC.
Ofschoon wij voor meerdere eenvoudigheid bij deze opheldering onderstelden,
dat de stukken BD en DA onderling meetbaar zijn, doet dit niets ter zake.
Waren zij dit niet, dan zouden de betrekkingswijzers van BD : DA en BE : EG
tot in het oneindige voortloopen, doch niet te min in beide verhoudingen uit
dezelfde wijzergetallen bestaan; zoodat daaruit toch de gelijkheid der ver-
houdingen voortvloeit.
Gevolgen. Be geheele zijden BA en BC (Eig. 64) des drie-
hoeks zijn evenredig met de stukken , waarin zij door eene lijn DE,
evenwijdig aan de derde zijde, verdeeld worden
Immers uit de pas bewezen evenredigheid:
BD : DA == BE : EC
volgt: BD+DA :BE + EC = BD : BE = DA : EC;
dus: BA : BC = BD : BE = DA : EC.
2°. Brie evenwijdige lijnen AB, CD en EE (Eig. 65) snijden van
Fig. 65. twee willekeurige lijnen AE en BF evenredige
stukken af.
Door namelijk AH evenwijdig aan BF
te trekken, hebben wij, volgens de zoo
even bewezen stelling, in drieh. AEH:
AC : CE = AG : GH.
Dewijl AD en^ GF parallelogrammen
zijn, hebben wij blijkens § 72:
AG = BD, en GH = DE,
zoodat de bovenstaande evenredigheid verandert in:
AC : CE = BD : DF.
§ 80. Stelling. Wanneer eene lijn DE (Fig. 60) twee zijden BA
Fig. 60. en BC eens driehoeks ABC in evenredige stukken
verdeelt, loopt zij evenwijdig aan de derde zijde.
Bewijs. Om deze stelling, die het omgekeerde
der voorgaande is, te bewijzen, onderstellen wij,
dat terwijl BD : DA = BE : EC, de lijn DE niet
evenwijdig aan AC loopt; dan kunnen wij uit
D eene lijn DF evenwijdig aan AC trekken-
Blijkens § 79 is nu;
c/—--V