Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
Bemjs. Trek uit de punten A', B' cn C' lijnen A'b, B'c en Cd
Fig. 63. evenwijdig aan MN , dau zijn Ab, Be en Cd
parallelogrammen; hieruit volgt blijkens
§72: A'b = AB, B'c=:BC, Cd = CD
en dewijl de stukken AB, BC en CD on-
derling gelijk gegeven zijn, heeft men ook :
A'b =: B'c = Cd.
Daar verder de lijnen A'b, B'c cn Cd
ieder in 't bijzonder evenwijdig loopen met
eene zelfde lijn MN, zijn zij ook onderling
evenwijdig (§ 45, Gev.): zij worden der-
halve door de lijn M'N' onder gelijke overeenkomstige hoeken ge-
sneden (§ 45); dus is te/lbA'N' = Aoe/:cB'N' = /ioeAdC'N'. Eindelijk
zijn blijkens § 48 de hoeken A'bB', B'cC' en CdD' onderling gelijk.
De driehoeken A'bB', B'cC' en CdD' verkeeren dus in het geval van
§ 59; ze zijn bijgevolg gelijk en gelijkvormig, en hieruit volgt:
A'B' = B'C' = CD'.
§ 79. Stelling. Elke lijn DE (Fig. 64), die in een driehoek ABC
evenwijdig aan eene der zijden gelrokken wordt, verdeelt de andere
zijden BA en BC in evenredige stukken.
Bewijs. Indien men de bewerking van § 77 verricht tot het zoeken
Fig. 04. der grootste gemeene maat van de stukken
BD en DA, en uit de daarbij verkregen
deelpunten F, G en H lijnen evenwijdig
aan AC trekt, ontmoeten deze lijnen Ff,
Gg en Hh de lijn BC blijkens § 78 in de
deelpunten, welke men bij het zoeken der
grootste gemeene maat van BE en EC zou
vinden. Hetzij dus de stukken BD en DA
onderling meetbaar ziju of niet, de betrekkingswijzer hunner ver-
liouding is zeker dezelfde als die der verhouding van de stukken
BE en EC. Blijkens het Gev. van § 77 vloeit hieruit de gelijkheid
dezer verhoudingen voort, dus:
BD : DA = BE : EC.
Opheldering. Onderstellen wij, dat DA éénmaal op BD begrepen zij, en dat
er eene rest t'D< DA overschiet; dat deze rest FD éénmaal op DA begrepen
zij, en er eene rest GA<FD overschiet; dat eindelijk deze rest GA juist
tweemaal op FD begrepen zij; dan hebben wij blijkens § 77:
BD : DA= 11, 1, 2|.
I. 4.