Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
IS
3°. De driehoeken BCO en ADO zijn blijkens § 59 gelijk en
gelijkvormig, omdat BC = AD gevonden is; terwijl, als verwisselende
binnenhoeken, ^oeiBCA = /5oeACAD , en AoeADBC = AoeABDA is.
Hieruit volgt: BO = OD, en AO = OC.
4°. De evenwijdige lijnen AB en CD worden door AD gesneden;
derhalve is de som der binnenhoeken BAD en ADC aan denzelfden
kant der snijlijn gelijk aan twee rechte hoeken (§ 45). Is dus
hoek BAD scherp, dan zal hoek ADC stomp zijn, en hetzelfde geldt
voor hunne overstaande hoeken. De driehoeken ACD en ABD hebben
nu de zijde AD gemeen en CD = AB, maar ADC> AoeiBAD;
derhalve volgens § 05, AC>-BD.
5°. Is hoek BAD (Fig. 59) recht, dan is zijn overstaande hoek
Fig 59. BCD zulks ook, verder is hoek ADC recht als
supplement van hoek BAD, en hoek ABC als
overstaande van hoek ADC. In de drielioeken
ACD en ABD is nu CD=AB, AD = AD,
en tei ADC = ^oeiBAD; zij zijn derhalve
blijkens § 60 gelijk en gelijkvormig, en
hieruit volgt AC = BD.
§ 73. Stelling. Een vierhoek is een parallelogram, wanneer:
1°. Twee overstaande zijden gelijk en evenwijdig zijn; of
2°. De overstaande zijden twee aan twee gelijk zijn; of
3°. De overstaande hoeken twee aan twee gelijk zijn.
Bewijs. 1°. Is in vierh. AC (Fig. 58) de zijde AB gelijk en
evenwijdig aan CD, dan zijn de driehoeken BAC en DAC blijkens
§ 60 gelijk en gelijkvormig. Immers ze hebben AC gemeen,
AB = CD, en hoek BAC = hoek ACD als verwisselende binnen-
hoeken (§ 45). Hieruit volgt hoek Wk =■ hoek CkV), de lijnen
BC en AD worden dus door AC zoodanig gesneden, dat de ver-
wisselende binnenhoeken gelijk zijn; hieruit volgt hare evenwijdig-
heid (§ 45), en bijgevolg is vierh. AC een parallelogram (§ 71, 2").
2°. Is in vierh. AC (Fig. 58) AB = CD, en BC=rAD gegeven,
dan zijn de driehoeken BAC en DAC gelijk eu gelijkvormig (j 61),
omdat zij bovendien de zijde AC gemeen hebben. Hieruit volgt de
gelijkheid der hoeken BAC en ACD, en dus de evenwijdigheid der
lijnen AB en CD (§ 45). De zijden AB en CD zijn nu gelijk en
evenwijdig; derhalve is, blijkens het 1®'= deel dezer stelling, vierh.
AC een parallelogram.