Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
31
Zij zijn namelijk onderling gelijk, omdat men ieder paar zijden eens gelijk-
zijdigen driehoeks als de opstaande zijden eens gelijkbeenigen driehoeks be-
schouwen kan; zij bevatten «iO", omdat de som der drie gelijke hoeken blijkens
§ 53 gelijk is aan twee rechte of 180®.
§ 57. Stelling. Wanneer twee zijden van een driehoek ongelijk
zijn, staat over de grootüe dezer zijden een grootere hoek dan over de
Fig. 36. kleinste; en omgekeerd: wanneer twee hoeken
eens driehoeks ongelijk zijn, staat over den
I grootsten dezer hoeken eene grootere zijde dan
over den kleinsten.
Bewijs tan het eerste. Zij in driehoek ABC
(Fig. 30) AB>BC, dan zal de loodlijn DE,
uit het midden D van AC opgericht, Üijkens
§ 26, niet door B gaan; zij zal de grootste
' der lijnen AB en BC in zeker punt E snijden.
Vereenigt men dit snijpuut met C, dan is EA=EC (§ 2G); drieh.
AEC is derhalve gelijkbeenig, — en dus volgens § 56 :
hoek DCE = hoek A.
Daar hoek DCE een deel van hoek ACB, en het geheel grooter
dan een zijner deelen is, zoo hebben wij ook:
hoek ACB> Ao^ifcDCE;
derhalve: hoek ACB > hoek A.
Bewijs van het omgekeerde. Indien hoek ACB ^ hoek A is, kan
AB niet gelijk BC zijn: want met de gelijkheid van AB en BC
zou, blijkens § 56, ook Aoe^ACB = gepaard gaan. Ook kan
AB niet kleiner dan BC zijn; want uit AB<BC. of BC>AB
zou, blijkens het eerste gedeelte onzer stelling, volgen:
hoek A > hoek ACB.
Derhalve moet noodzakelijk AB>-BC wezen.
Gevolgen. 1®. Wanneer twee hoeken eens driehoeks onderling gelijk
zijn, zullen de overstaande zijden het ook wezen; de driehoek is dan
gelijkbeenig.
Want waren die zijden niet gelijk, zoo zouden de bedoelde hoeken het ook
niet kunnen wezen.
2®: Wanneer de drie hoeken eens driehoeks onderling gelijk zijn,
is de driehoek gelijkzijdig.
Want uit de gelijkheid van ieder paar hoeken volgt de gelijkheid der over*
staande zijden.
3°. In een recht" of stomphoekigen driehoek is de zijde over den
rechten of stompen hoek altijd grooter dan elke der overige zijden.