Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
120
EF gelijkstandige zijde des begeerden veelhoeks. Beschrijft men dus
op ef=DH een veelhoek Q gelijkvormig met P, zoodanig dat ef
gelijkstandig met EF is 101); dan is Q de gevraagde veelhoek.
Immers volgens § 169 hebben wij:
P: Q = EF' : er = DG' : DH'.
Verder is door de verrichte constructie, blijkens § 79:
DG ; DH =DA : DG;
dus: DG» : DH' = DA»: DC'.
Uit deze en de eerste evenredigheid volgt:
P: Q = DA': DC'.
Daar verder hoek ADC als in een halven cirkel staande recht
is, zoo hebben wij blijkens § 131:
DA« = AB X AC, en DC» = BCx AC;
waaruit door deeling:
DA«:DC«=AB:BC;
dus ook: P : §= AB : BC= 5 : 3.
Opmekkikgen. 1°. We hebben tot meerdere duidelijkheid be-
paalde getallen gebruikt; voor andere willekeurig gekozen getallen
gaat klaarblijkelijk de constructie woordelijk door. Gebeurde het
daarbij dat DA<;EF was, dan zou, bij 't nemen van DG = EF,
het punt G op 't verlengde van DA vallen.
2°. Moest de gegeven veelhoek tot den gevraagden in reden staan
als twee gegeven lijnen; dan zou men voor de gebezigde stukken
AB en BC die gegeven lijnen nemen.
§ 172. Stelling. Be inhoud eens cirkels is gelijk aan zijn omtrek,
vermenigvuldigd met den halven straal.
Bewijs. Beschrijft men om den cirkel regelmatige veelhoeken van
n, 2», 4», enz. zijden, en stellen wij zijn straal door r voor,
dan is (§ 164, 2''® Gev.):
inh. omg. n-hoek = \ry.omtr. omg. n-hoek,
inh. omg. in-hoek = \ry.omtr. omg. in-hoek,
inh. omg. in-hoek = | r X omtr. omg. \n-hoek.
Bij vermeerdering van het aantal zijden nadert de omgeschreven
veelhoek onophoudelijk tot den cirkel, terwijl intusschen de in
deze vergelijkingen uitgedrukte wet van afhankelijkheid tusschen
zijn inhoud en omtrek voortdurend bestaan blijft. Gaat men tot
in het oneindige voort met het verdubbelen van 't aantal zijden
des regelmatigen veelhoeks, dan gaat, op het oogenblik dat bet
aantal zijden oneindig groot is, de veelhoek in den cirkel over.