Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
113
§ 163. Stelling. Be inhoud van een trapezium wordt gevonden,
door de halve som der evenwijdige zijden te vermenigvuldigen met de
hoogte.
fig- 141. Bewijs. Trekken wij in het trapezium ABCD
(Mg. 141) een diagonaal AC, dan wordt het
in twee driehoeken ABC en ACD verdeeld,
die wij beschouwen kunnen, als hebbende tot
basissen de evenwijdige zijden BC en AD van
het trapezium, zoodat zij met het trapezium
eene gemeenschappelijke hoogte CE hebben.
Nu is blijkens de voorgaande stelling:
drieh. ABC = |BCxCE,
en drieh. ACD == J AD X CE;
derhalve door optelling:
trap. ABCD = l (BC + AD) X CE.
Gevolg. Indien wij door het midden G van de diagonaal AC
eene lijn EK evenwijdig aan de evenwijdige zijden van het trape-
zium trekken, zijn de driehoeken AFG en ABC, alsmede CGK
en CAD gelijkvormig (§ 86, 1"'« Gev.); derhalve:
AG : AC=FG : BC, en CG : CA = GK : AD.
Daar nu AG = JAC, en CG=JCA is, zoo is ook FG=-JBC,
en GK=}.AD.
Hieruit volgt:
FK = FG + GK = \ (BC + AD);
derhalve: trap. ABCD = FK X CE.
Uit de gelijkvormigheid der driehoeken CGH en CAE blijkt
verder, dat de lijn FK, dewijl zij AC middendoor deelt, ook door
het midden van CE gaat; zij is dus op gelijke afstanden verwijderd
van de beide evenwijdige zijden des trapeziums; derhalve: de inhoud
van een trapezium wordt ook gevonden door eene lijn, die daarin op
gelijke afstanden van de evenwijdige zijden getrokken is, te vermenig-
vuldigen met de hoogte.
§ 164. Stelling. Wanneer in een veelhoek een cirkel beschreven
kan worden, is de inhoud van dezen veelhoek gelijk aan het product
van den omtrek met den halven straal des ingeschreven cirkels.
Bewijs. Indien wij nit willekeurige punten E, F, G, H (Fig. 142)
van den omtrek eens cirkels ME, raaklijnen aan dezen cirkel
trekken, zoo wordt daardoor een veelhoek ABCD ingesloten, welke
I. 8