Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
\)5
Trekken wij namelijk de stralen Ma, Mb, Mc en«., dau staan
deze loodrecht op de raaklijnen (§ 115); bovendien deelen zij de
polygoons-hoeken vau veelhoek abc de middendoor (§ 142 , 2''' Gev.).
Hieruit volgt:
ioei:Aab—/ioeiAba = hoek B b c = hoek B c b =
= hoek C c d = enz.,
en daar bovendien ab = bc = cd de = ea is, zijn Aab, Bbc,
Ccd, Dde en Eea gelijke en gelijkvormige gelijkbeenige driehoeken
(§ 59 en § 57, Gev.).
Dien ten gevolge is:
hoek A = hoek B = hoek G = hoek D = hoek E;
en aA = Ab = bB —Bc = cC = Cd = dD = «M?.;
derhalve ook:
AB=:BC = CD = DE=EA.
Van den veelhoek ABCDE zijn dus de hoeken onderling gelijk
en de zijden even groot; daarom is hij regelmatig. Zijne zijden
raken den cirkel MA, daarom is hij een omgeschreven veelhoek
van dezen cirkel. Eindelijk heeft hij evenveel zijden als de inge-
schrevene: hij voldoet dus in alle opzichten aan de vraag.
Gevolgen. 1°. Daar de punten A en M ieder in 't bijzonder op
gelijke afstanden van a en b verwijderd zijn, zal de lijn AM,
welke die punten vereenigt, de zijde ab in haar midden rechthoekig
snijden (§ 26, Gev.). De driehoek aEM is dus rechthoekig; hij
heeft bovendien met den rechthoekigen driehoek AaM den hoek
aMF gemeen, en is dus met dezen gelijkvormig (§ 86, 2'"® Gev.).
Hieruit volgt:
Aa : aF = Ma : MF.
Stellen wij nu k'& = A, ab = a en Ma = r; dan is Aa = .J^;
aF=r '3, en MF:^ (/(Ma** —aF^) = J/(r»—Ja'). De voren-
staande evenredigheid verandert derhalve in:
\A-.\a-=r-. —ifl') of A : = > : 1/(r'— Ja«).
Zij drukt de betrekking van afhankelijkheid uit, welke tusschen
de grootheden A, a en r bestaat, en leert ons: eene van deze
grootheden berekenen, wanneer de beide andere gegeven zijn. Door
A, a en r beurtelings op te lossen, vinden wij:
2ar 2Jr Aa
A———.-r-; a = . . ■en r-.
■ _«')'"" V/(4r« + A^)' - a')"