Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
9?
ME=MF hebben. Hieruit volgt: //oe/i'MCE = ^öe>i:MCr. Had
men dus, in plaats van de hoeken A en B, de hoeken A en C,
of B of C des driehoeks middendoor gedeeld, dan zou men het-
zelfde middelpunt gevonden hebben. Kortom, de drie lijnen, die
de hoeken eens driehoeks middendoor deelen, hopen op één zelfde punt
uit, en daarom heeft iedere driehoek een ingeschreven cirkel.
§ 140. Bepaling. Een veelhoek, waarvan de zijden onderling
gelijk en de hoeken even groot zijn, wordt een regelmatige veelhoek
genoemd, zijne hoeken heeten polygoons'hoeken.
Gevolg. Be polygoons-hoek eens regelmatigen n-hoeks is altijd gelijk
aan -X 180.
n
Immers de som der hoeken eens willekeurigen n-hoeks bedraagt altijd
(n—2) X180° (§ 70) en daar de n hoeken eens regelmatigen veelhoeks onderling
gelijk zijn, moet men deze som door n deelen om de grootte van iederen hoek
te vinden.
§ 141. Stelling. Men kan om en in eiken regelmatigen veelhoek
een cirkel beschrijven, en deze cirkels hebben een gemeenschappelijk
fig. 126. middelpunt.
Bewijs. Zij ABCDEF (Fig. 126) een regel-
matige veelhoek; indien men dan de lijnen
GM en HM loodrecht op het midden van
twee op elkaar volgende zijden AB en BC
trekt, zullen die loodlijnen elkaar in een
punt M snijden, dat op onderling gelijke
afstanden verwijderd is van de hoekpunten
des veelhoeks, en eveneens van zijne zijden.
Immers na het punt M met alle hoekpunten vereenigd te hebben,
zijn vooreerst de lijnen MA, MB en MC onderling gelijk (§ 26),
en daar bovendien AB = BC gegeven is, zijn MAB en MBC twee
gelijke en gelijkvormige gelijkbeenige driehoeken. Hieruit volgt:
hoek MAB = hoek MBA = hoek MBC = hoek MCB,
en dewijl de hoeken MBA en MBC samen een polygoons-hoek des
regelmatigen veelhoeks uitmaken, is ieder der vier bovenstaande
hoeken een halve polygoons-hoek. Daarom is ook MCD een halve
polygoons-hoek, en hieruit volgt blijkens § 60 de gelijk- en ge-
lijkvormigheid der driehoeken MBC en MCD; want zij hebben:
hoek'mC = hoekllCV), BC = CD, en MB = MC. Driehoek MCD
is dus evenals MAB en MBC gelijkbeenig, en zijne hoeken aan de
basis zijn halve polygoons-hoeken.