Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page

fit' 122. reden verdeeld te zijn, wanneer haar
grootste deel middelevenredig is tus-
sehen haar kleinste deel en de geheele
lijn. Om eene gegeven lijn AB aldus
te verdeelen, richt men uit een harer
uiteinden B eene loodlijn BO op, en
neemt hierop een stuk BM = J AB.
Vervolgens beschrijft men uit M met
MB als straal een cirkel, en trekt uit A door M de lijn AE,
snijdende den omtrek in D en E. Indien men nu nog AF = AD
neemt, zal F het begeerde deelpunt zijn.
Door de verrichte constructie zijn namelijk AB en AE eene raak-
en eene snijlijn, door het punt A getrokken, derhalve is, blijkens
het Gev. van § 135:
AD : AB = AB : AE.
Hieruit wordt volgens eene bekende eigenschap der evenredigheden
afgeleid;
AB —AD : AE —AB = AD: AB;
maar AD = AF, en AB = 2MB = DE zijnde, zoo kunnen wij
hiervoor ook schrijven:
AB—AF : AE —DE = AF : AB;
derhalve; BF : AF = AF : AB.
Gevolgen. 1°. Was AB = ö gegeven, waarin a het aantal lengte-
eenheden voorstelt, begrepen in AB, dan zou men dc stukken
AF en BF als volgt kunnen berekenen.
Dewijl MB = |AB = ^a is, vinden wij in den rechthoekigen
drieh. AMB (§ 92):
AM = l/(AB» + MB') = + a') = \/^a^ ^ la^/5-,
en door hiervan MD = MB = Ja af te trekken;
AF = AD = AM — MD = 5 — < a = Ja(—1 + J/ 5).
Het grootste stuk is nu gevonden, en voor het kleinste stuk
hebben wij:
BP = AB —AF = fl —(|«l/5 —Jfl)= 3«—i«l/5 =
= >«(3-1/5).
2°. De lijn AE wordt door het punt D ook in de uiterste en
middelste reden verdeeld; want daar AB = DE is, verandert de
evenredigheid AD : AB = AB : AE,
in: AD;DE = DE:AE.