Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
Ii.)
Daar de laatste reden van elk dezer evenredigheden dezelfile is
als de eerste reden der volgende, zijn al deze redens onderling gelijk;
derhalve is :
AB:ab = BC:be = AC:ac = CD:cd = AD:ad = DE:de=AE:ae.
De zijden en de uit een zelfde hoekpunt getrokken diagonalen
des eenen veelhoeks zijn dus evenredig met die des anderen. Is
nu bovendien gegeven, dat de gelijkvormige driehoeken in beide
veelhoeken op dezelfde wijze met gelijkstandige zijden aan elkaar
sluiten; dan verkeeren de veelhoeken in den toestand in § 95 bedoeld,
en zijn derhalve gelijkvormig.
§ 98. Stelling. Twee veelhoeken ABCDE en abede (Fig. 83) zijn
gelijkvormig wanneer zij gelijkhoekig zijn, derwijze dat beider gelijke
hoeken in dezelfde orde op elkaar volgen, en bovendien één hoek A
van den eenen veelhoek door zijne diagonalen in deelen verdeeld viordt,
die in grootte en volgorde gelijk zijn aan die, waarin de aan A gelijke
hoek a des anderen veelhoeks door zijn diagonalen verdeeld is.
Bewijs. Uit hoek "B kC = hoek ha. c, en hoek'B = hoek h volgt,
blijkens het Gev. van § 86, de gelijkvormigheid der driehoeken
ABC en abc; zoodat ook hoekYiCk = hoekhca. is. Wanneer wij
deze gelijke hoeken aftrekken van de hoeken BCD en bed, welke
onderling gelijk gegeven zijn, dan vinden we: hoek ACD = hoek a c d;
en daar bovendien hoek CAD = hoek c a d gegeven is, zoo zijn de
driehoeken ACD en acd gelijkvormig. Aldus voortgaande, kan men
gemakkelijk aantoonen, dat de veelhoeken in 'tgeval der voorgaande
stelling verkeeren, derhalve zijn zij gelijkvormig.
^ 99. Stelling Twee veelhoeken ABCDE en abede (Fig. 83) zijn
gelijkvormig. wanneer de zijden des eenen, op ééne na, zich verhouden
bis die des anderen, op ééne na, en bovendien de hoeken, door die
zijden in den eenen veelhoek gevormd, gelijk zijn aan die, welke de
daarmee evenredige zijden in den anderen vormen.
Bewijs. Zij dus gegeven (Fig. 83):
AB:ab = BC:bc = CD:cd = DE:de,
en hoek B = hoek hoek BCD = hoek bed, hoek CDE = hoek ede;
indien men nu uit A en a de diagonalen trekt, zijn vooreerst de
driehoeken ABC en abc blijkens § 87 gelijkvormig, omdat volgens
de onderstelling hoekB = hoekh, en AB : ab = BC : bc is. Uit
hunne gelijkvormigheid volgt:
hoekBCk — hoekhca., en AC : ac = BC : bc;
I. 5