Boekgegevens
Titel: Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Deel: Eerste stukje
Auteur: Kempees, J.C.J.
Uitgave: Breda: Broese & comp, 1880
14e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 5270
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202806
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der meetkunst, benevens vraagstukken en oefeningen ter toepassing
Vorige scan Volgende scanScanned page
63
4°. Gelijksiaudige lijnen eindelijk zijn dezulke, die, in twee
gelijkvormige veelhoeken getrokken, daarin gelijkstandige punten
vereenigen.
Gevolg. De punten Q en q (Fig. 81), die twee gelijkstandige
zijden AE en ae van gelijkvormige veelhoeken in dezelfde reden ver-
deelen, zijn gelijkstandig.
Want uit de evenredigheid AQ: QE=aq: qe
volgt: AQ + QE: aq + qe = AQ: aq = QE: qe;
dus: AE: ae==AQ:aq=QE: qe.
§ 96. Stelling. Twee gelijkvormige veelhoeken kunnen altijd zoo-
danig geplaatst worden, dat de zijden en diagonalen des eenen evenwijdig
zijn aan de daarmee gelijkstandige zijden en diagonalen des anderen.
Fig 8-2, Bewijs. Indien de veelhoeken
ABCDE en abede (Eig. 82)
gelijkvormig zijn, moet men
blijkens de 1»'® Bepaling van
§ 95 in den eenen veelhoek een
hoekpunt A, en in den anderen
een daarmee gelijkstandig hoek-
punt akunnen aanwijzen, zoo-
danig, dat als men uit die
punten de diagonalen trekt, de aaneengeschakelde evenredigheid
AB:ab = AC:ac = AD:ad = AE:ae = BC;bc = CD:cd = DE:de
plaats heeft.
Hierin liggen opgesloten de evenredigheden:
AB:ab = AC:ac = BC:bc,
AC:ac = AD:ad = CD:cd,
en AD : ad = AE :ae=DE: de;
derhalvezijn de driehoeken ABC, ACD en CDE blijkens § 85, Gev.
gelijkvormig en dus, blijkens § 86, gelijkhoekig met abc.acdenade.
Plaatst men nu den veelhoek abcde in dier voege op ABCDE,
dat a op A, en a b langs AB valt, dan vloeit uit de gelijkhoekigheid
der pasgenoemde driehoeken voort, dat ac langs AC, ad langs AD,
en ae langs AE komt te liggen, terwijl de punten b, c, d en e
ergens in b', e', d' en e' in de genoemde lijnen zullen aankomen,
zoodanig dat Ab' = ab, Ae'=:ac, Ad' = ad, en Ae' = ae is.
Uit de oorspronkelijk gegeven aaneengeschakelde evenredigheid
kunnen we nu afleiden:
AB: Ab' = AC:Ac'=rAD: Ad'rrAE: Ae';