Boekgegevens
Titel: Leerboek der meetkunde
Deel: II Leerboek der stereometrie / door J.C. Eger
Auteur: Eger, J.C.
Uitgave: Leiden: E.J. Brill, 1884
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 3642
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202752
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Leerboek der meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
•87
Beide formules kunnen echter ook op de volgende wijze be-
schouwd worden. In fig. 55 is A T eene lijn die om de as T C
gewenteld wordt om het kegelvlak te beschrijven, terwijl T C de
projectie der wentelende lijn op de as is. Zoo is ook in fig. 57
A C de wentelende lijn en O O' hare projectie op de as. Daar-
door kunnen beide formules (4) en (5) aldus in woorden worden
vervat:
Wanneer eene lijn wentelt om eene as, die zij of die haar
verlengde ontmoet, dan kan het oppervlak, door die lijn be-
schreven , berekend ivorden door den omtrek van den cirkel,
wiens straal de loodlijn is uit het midden dier lijn opgericht
en tot in de as verlengd, vermenigvuldigd met de projectie
der wentelende lijn.
II. Om den inhoud van den kegel te berekenen, kunnen wij
zeggen, dat de kegel is eene pyramide met een oneindig aantal
ribben in het grondvlak. In de Planimetrie bespraken wij reeds
dat de cirkel ontstaat uit den veelhoek met een oneindig aantal
zijden; door nu ook hier het aantal ribben in het grondvlak te
doen toenemen, neemt ook het aantal opstaande zijvlakken toe;
indien het aantal ribben in het grondvlak oneindig groot ge-
worden is, dan is het grondvlak overgegaan in een cirkel en de
som der zijvlakken in het gebogen kegelvlak.
De formule die wij vroeger voor den inhoud der veelhoekige
pyramide vonden, moet dus tevens voldoen aan den inhoud des
kegels, omdat zij niet van een zeker aantal ribben in het grond-
vlak afhankelijk was gesteld; vandaar dat
Inh. kegel = 1/3 GH.........(6)
De inhoud des afgeknotten kegels kan hieruit mede op dezelfde
wijze gevonden worden, als vroeger voor dien van de afgeknotte
pyramide.
In fig. 55 is
Inh. keg. A B T = 1/3 G H
C D T = i/3Bft
aftr.
Inh. afgekn. kegel A B D C = '/s H — B • . (7)
Maar uit de gelijkvormige driehoeken A O T en C O' T volgt
A O : C O' = O T : O' T