Boekgegevens
Titel: Leerboek der meetkunde
Deel: II Leerboek der stereometrie / door J.C. Eger
Auteur: Eger, J.C.
Uitgave: Leiden: E.J. Brill, 1884
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 3642
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202752
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Leerboek der meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
•79
Om al deze vergelijkingen samen te tellen, weten wij dat H
in alle dezelfde lengte heeft, omdat grond- en bovenvlak van
het prismoïde evenwijdig loopen. Verder is de som der driehoe-
ken P B C, PCD enz. juist het grondvlak (G) en de som van
m^, Wj, »«3 enz. juist wat de eerste pyramide P G H J K van
het middenvlak heeft overgelaten. Daardoor is de som der tien
laatste vergelijkingen =
V6H|G + 4(w,-fm,-fm3 + enz.)j . . . {b)
Tellen wg nu de vergelijking (a) bij (6) dan is
Inh. prismoïde = H (G + B-I-4 M) . ... (9)
of: De inhoud van een prismoïde is gelijk aan een zesde van
de hoogte vermenigvuldigd, met de som van grondvlak, hoven-
vlak en viermaal het middenvlak.
Van deze algemeene eigenschap vervat in formule (9) zijn de
vorige in de formules 6, 7 en 8 aangeduid slechts bijzondere
gevallen, dewijl daar óf het bovenvlak, óf grond- en bovenvlak
beide ontbreken.
Wanneer een balk wordt afge-
knot, zoodat het bovenvlak niet
meer evenwijdig loopt aan het
grondvlak, dan brengt men door
het lichaam de twee diagonaal-
vlakken A A' C' C en B B' D' D ,
welke elkander volgens de lijn
M M' snijden. Hierdoor is het
lichaam verdeeld in vier rechte
afgeknotte driehoekige prisma's.
Berekenen wij van ieder dezer
prisma's den inhoud, dan ver-
krijgen wij door optelling den
inhoud der geheele balk.
I. afgekn. pr. A B M' = A A B M X Vs (A A' -f B B' + M M')
» » » BCM'=ABCM XV3(BB'-fCC'-f MM')
» » CDM'=ACDM X'/3(CC'+DD' + MM')
» » B D A M' = A D A M X Vs (I» D' -{- A A' -f M M')
Fig. 54.
I. afgekn. balk = AABMX'/3(2AA' + 2BB'-|-2CC' +
2 D D' + 4 M M')
11 opt.