Boekgegevens
Titel: Leerboek der meetkunde
Deel: II Leerboek der stereometrie / door J.C. Eger
Auteur: Eger, J.C.
Uitgave: Leiden: E.J. Brill, 1884
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 3642
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202752
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Leerboek der meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
(3ü
Nu weten ^vij dat S>Pyramide, dus S>P, maar ook S'<P, of
S > P > S'
Trekken wij de beide formules van S en S' van elkander af, dan
verkrijgen wij - .
n' n
Hoe grooter dus n wordt, des te kleiner wordt S — S'. Laten
wij n tot in het oneindige aangroeien, dan is
GH
S —S' =
00
of lim. (S— S0 = O.
Maar hierdoor is dan ook P = de grenswaarde van

12
n
xaH
onafhankelijk van de gedaante der driehoekige pyramide P,
*) Onverschillig dus welken vorm de pyramide heeft, de waarden
*) Nemen wij van de waarde van S de teller der breuk, dus
1) 2) ^+ -h 1S
dan zien wij dat dit is de som der tweede machten der opvolgende getallen
beginneude bij de eenheid, dus
1 4-4-[-9 + 16-h ... . tt^
volgens de algebra (deel II § 138) is die som =
deelen wij die uitkomst door den noemer der breuk, dan is
ln(n-{-\)(2n-\-l) ^ (/^ + 1)(2« + 1) ^ «jfl ^ 2« + l ^
n^ 6w« Sfi 2 n


Evenzoo voor de waarde van S' handelende, is
l + 4 + 9-|-16 + ....(«-)^
gemakkelijk te vinden door in de vorige formule n te veranderen in n — 1,
dan wordt n 1 veranderd in n en 2n-\- l in 2 (n — 1) + 1 of 2 m — 1,
waardoor de formule wordt — 1) (2 » — 1)
en deze vorm even als boven door den noemer gedeeld, geeft
■ - - - 1H2» -!)_(« - 1) (2« -1) _ (1 _ _L) (1 _ _L) . (4)
3 '6 n 2 n
n^ 3 w X
Hoe grooter n wordt, zooveel te minder wordt in a bij | en 1 opgeteld,
en zooveel te minder in b er van afgetrokken. Hoe grooter dus n wordt, des
te meer nadert het product J; bij oneindig groote waarde van n zal het pro-
duct = ^ zijn, waardoor zoowel S, als S' en dus ook de daartusscheu liggende
P gelijk wordt aan | G H. Hierdoor wordt dan