Boekgegevens
Titel: Leerboek der meetkunde
Deel: II Leerboek der stereometrie / door J.C. Eger
Auteur: Eger, J.C.
Uitgave: Leiden: E.J. Brill, 1884
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 3642
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202752
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Leerboek der meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
51
en in iiet bovenvlak evenzoo
A' C' 2 -f B' D' 2 = A' B' 2 4- B' C' ï + C' D' ï 4- D' A' ^
omdat beide vlakken ook parallelogrammen zijn. Substitueeren
wij de beide laatste vergelijkingen in de voorgaande, dan vin-
den wij:
AC'2 +A'C2 -f D'B2 -fB'D^ = A B^ -)-B C^ -j-C D» -f D A^
A' B'2 4- B' C'2 + C' D'2 -f D' A'i
+ A'A^-f B'B^-f C'C^-f D'D^
of: In elk parallelopipedum is de som der kwadraten van de
vier lioofddiagonalen gelijk aan de som der kwadraten van
de twaalf ribben.
Bedenken wij dat de ribben vier aan vier even lang zijn, nl.
A A' = B B' = C C' = D D
A B = A' B' = C D = C' D'
B C = A D = B' C' == A' D'
dan kan de laatste vergelijking aldus vereenvoudigd worden:
A C'2 -f A' C^ + B' D^ + B D'2 = 4 (A A'2 + A B + A D2),
of: De som van de kicadraten der vier lichaamsdiagonalen
is gelijk aan viermaal de som van de kwadraten der drie
ribben die in een hoekpunt samenkomen.
Heeft het parallelopipedum een rechthoek tot grondvlak en is
het bovendien recht, dan zijn de vier hoofddiagonalen even lang;
stellen wij die diagonalen = en de drie ribben die in een
hoekpunt samenkomen = a, b ea c, dan verandert de laatst ver-
kregen vergelijking in:
4 == 4 ^J)
of
In een recht, rechthoekig parallelopipedum of korter in een
balk is de tioeede macht van eene hoofddiagonaal gelijk aan
de som der tweede machten van drie ribben die in een hoek-
punt samenkomen.
Zijn van de balk de drie hier genoemde ribben even lang, dus
a = b = c,