Boekgegevens
Titel: Leerboek der meetkunde
Deel: II Leerboek der stereometrie / door J.C. Eger
Auteur: Eger, J.C.
Uitgave: Leiden: E.J. Brill, 1884
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 3642
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202752
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Leerboek der meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
50
6 zijvlakken
12 ribben
8 hoekpunten
4 lichaams-diagonalen.
12 vlakke diagonalen.
Trekken wij in het parallelopipedum (fig. 35) de vlakke diagonalen
BD en B' D', en beschouwen wij nu het diagonaalvlak B D D' B',
p. g. dan is dit een parallelogram,
omdat BB' gelijk en evenwijdig is
aan DD'. Daardoor snijden de
diagonalen D B' en B D' elkander
in O midden door. Evenzoo zullen
in het diagonaalvlak AA'CC de
diagonalen A C' en G A' elkander
midden door deelen. Maar den-
ken wij nu ook nog de vlakke
diagonalen B' G en A' D ge-
trokken , dan vinden wij in het
diagonaalvlak B'CDA', dat daar-
door ontstaat, de lichaamsdiagonalen B' D en A' C die elkander ook
midden door deelen, omdat dit vlak even goed een parallelogram is.
Derhalve snijden de vier lichaams-diagonalen in een paralle-
lopipedum elkander alle midden door, of ontmoeten zij elkander
alle in één punt dat op het midden van elke diagonaal gelegen
is. Deze vier diagonalen zyn dus alle hoofddiagonalen.
Hun ontmoetingspunt heet het middelpunt van het lichaam.
In de Planimetrie is bewezen, dat in elk parallelogram de
som der tweede machten der diagonalen gelijk is aan de som
van de tweede machten der vier zijden; passen wij deze stelling
hier toe, dan vinden wij in het parall. A C C'A':
A G' ^ -f A' G^ = A G^ + C G' ^ -f G' A' ^ -f A' A'^;
even zoo vinden wij in het parall. B B' D' D:
B ü' 2 -f B' D^ = D B^ + B B' 2 + B' D' 2 If D' D^.
Door optelling volgt hieruit:
A C' 2 -f A' C^ -f D' B2 -f B' D2 = A G^ -)- B D^ -f G G' i-f B B' 2
+ A' G' 2 -f B' D' ^ 4- A' A2 + D' D^.
Maar in het grondvlak is
A G^ -f B D^ = A B2 -f- 3 G^- + G D^ -(- D A2