Boekgegevens
Titel: Leerboek der meetkunde
Deel: II Leerboek der stereometrie / door J.C. Eger
Auteur: Eger, J.C.
Uitgave: Leiden: E.J. Brill, 1884
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 3642
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202752
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Leerboek der meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
40
Uit deze zes betrekkingen zijn een aantal andere af te leiden.
Wil men bijv. weten hoeveel lichamen gevormd kunnen worden
die 8 hoekpunten hebben, dan leert ons form. 6
2 2 —4"> 8 en 8 Va ^ + 2
waardoor en 12 2
het aantal zijvlakken kan dus zijn: 6, 7, 8, 9, 10, H of 12
terwijl door form.(l) het aantal ribben dan is 12, 13, 14,'15,
16, 17 of 18.
§ 12.
TOEPASSING VAN DE STELLING VAN EULEB OP DE
REGELMATIGE LICHAMEN.
Zal een lichaam regelmatig zijn, dan moet het ingesloten worden
door vlakken, wier vlakke hoeken alle even groot zijn; bovendien
moeten alle ribben even lang en alle standhoeken onderling gelijk
zijn. Dit doel wordt bereikt wanneer het lichaam ingesloten wordt
enkel door congruente regelmatige veelhoeken, die op dezelfde
wijze aan elkander sluiten; hierdoor wordt natuurlijk aan de
twee eerste eischen voldaan, terwijl uit de gelijkheid der vlakke
hoeken de gelijkheid der standhoeken bewezen kan worden uit
hetgeen wij daaromtrent in § 8 gevonden hebben. Derhalve
Een lichaam enkel ingesloten door congruente regelmatige
veelhoeken, die op dezelfde wijze aan elkander sluiten, is een
regelmatig lichaam.
Om te onderzoeken welke regelmatige lichamen bestaan kun-
nen, stellen wij dat alle zijvlakken zijn regelmatige n-hoeken;
ieder vlak wordt dus begrensd door n ribben, en daar elke ribbe
aan twee vlakken geteld wordt is
1r = nz.......(1)
Verder stellen wij, omdat het aantal ribben aan alle hoekpunten
even groot is, dat p ribben aan ieder hoekpunt samenkomen,
en daar elke ribbe in twee hoekpunten eindigt en dus ph het
dubbele aantal ribben is, zoo is
1r = ph.......(2)
Substitueeren wij nu in de hoofdformule
= ......(3)