Boekgegevens
Titel: Leerboek der meetkunde
Deel: II Leerboek der stereometrie / door J.C. Eger
Auteur: Eger, J.C.
Uitgave: Leiden: E.J. Brill, 1884
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 3642
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202752
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Leerboek der meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
38
Indien driehoek AB' C in zoover binnen driehoek ABC' valt
dat de gelijknamige punten A in elkander blijven, dan zal men
bevinden dat de stelling nogmaals doorgaat; maar wordt het
punt A ook verplaatst, zoodat driehoek A B' C en ABC' geen
enkel hoekpunt gemeen hebben, dan is het aantal zijvlakken = 7,
het aantal hoekpunten = 8 en het aantal ribben = 12, zoodat
Z-fH = E + 2
nu niet waar is.
Alle lichamen waarvoor deze stelling waarheid is, heeten
Eulersche lichamen; de stelling zelve:
het aantal hoekpunten en het aantal zijvlakken te zamen
van een veelvlakkig lichaam is gelijk aan het aantal rihhen
vermeerderd met twee
wordt de stelling van Euler genoemd.
Deze gewichtige stelling is rijk aan toepassingen; wij zullen
er echter slechts enkele hier laten volgen.
De stelling is Z-fH = E + 2;.....(1)
elk der zijvlakken is minstens door 3 ribben omsloten; voor elk
zijvlak afzonderlijk geteld zou het aantal ribben gelijk zijn aan
of nog grooter zijn dan 3 z; maar daar dezelfde ribbe bij twee
aangrenzende vlakken dubbel geteld wordt, zoo is
2r>3z;......(2)
ook komen er aan elk hoekpunt minstens 3 vlakken, dus ook 3
ribben samen , dit geeft voor alle hoekpunten 3 h ribben, maar daar
dezelfde ribbe aan twee hoekpunten voorkomt, is ook bier weder
2r^3h-......C3)
Substitueeren wij de z uit (2) in (1), dan verkrijgen wij, daar
of
en formule (3) geeft zelve ^s »" ^
Deze beide betrekkingen samenvattende, hebben wij

(4)
Substitueeren wij evenzoo h uit (3) in (1), dan verkrijgen wij
op dezelfde wijze z Vs + 2
en form. (2) daarbij nemende: Vs^ z