Boekgegevens
Titel: Beginselen der nieuwere meetkunde
Auteur: Versluys, J.
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1897
5e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 9075
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202217
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der nieuwere meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
39
punt E der meetkundige plaats gaan weer de lijnen, die hoek
AEB en zijn supplement middendoor deelen, door dezelfde punten
D en D', omdat zij op de basis segmenten moeten bepalen, die
dezelfde verhouding }} hebben als bij het punt C. Het punt E
ligt dus ook op den cirkel, die DD' tot middellijn heeft. En
hiermede is aangetoond, dat alle punten der meetkundige plaats
op denzelfden cirkelomtrek liggen. Nu moeten wij nog bewijzen,
dat elk punt van die kromme, b.v. C, tot de meetkundige plaats
behoort, dat wil zeggen, dat voor zulk een punt de verhouding
tusschen AC en CB gelijk is aan 2)- Daartoe merkt men op
_ _AD__AD' AD AD'
BD' "®'BD'BDI~
zoodat A, B, D en D' harmonisch gelegen zijn, en CA, CB, CD,
CD' een harmonischen stralenbundel vormen. De twee toegevoegde
stralen CD en CD> staan rechthoekig op elkaar, omdat een hoek
in een hal ven cirkel, DCD', recht is. En twee zulke stralen
deelen, volgens § 53, de hoeken tusschen de twee andere, CA en
CB, middendoor. Hieruit volgt, dat de verhouding tusschen AC en
AD
BC gelijk is aan—=
DB
Gevolg. Als twee punten A en B harmonisch toegevoegd zijn
ten aanzien van een middellijn DD' van een cirkel, dan is voor
een willekeurig punt C van den cirkel de verhouding tusschen
de afstanden AC en BC gelijk aan ^ ' «l- constant.
§ 59. Stelling. Als men door een selfde pUnt E verschillende
rechte lijnen trekt, die ieder een cirkel snijden in twee punteyi,
dan is de meetkundige ptlaats van het punt, dat harmonisch toe-
gevoegd is met E ten aanzien van de twee snijpunten, een lijn,
rechthoekig op de middellijn, die door E gaat.
Bewijs. Zij D het punt, dat harmonisch toegevoegd is met E
ten aanzien van de middellijn AB, die door E gaat. Zij verder