Boekgegevens
Titel: Beginselen der nieuwere meetkunde
Auteur: Versluys, J.
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1897
5e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 9075
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202217
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der nieuwere meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
35
§ 51. Uit de eigenschap der vorige § volgt gemakkelijk, dat
vier lijnen, die door een punt gaan en een vijfde lijn snijden in
harmonische punten, elke andere lijn harmonisch snijden.
Zij ad een geheel willekeurige snijlijn.
Indien nu (zie Fig. 27) A, C, B, D harmonische punten zijn,
wordt EF middendoor gedeeld in B; maar dan wordt ook ef
middendoor gedeeld in h en hieruit volgt weder, dat a, c, b, d
harmonische punten zijn.
Hetzelfde is waar, indien ad niet AP, BP, CP en DP, maar
het verlengde van een of meer dier lijnen snijdt.
Bkpalingen. Vier lijnen, die door een zelfde punt gaan en een
willekeurige lijn harmonisch snijden, vormen een harmonischen
bundel van lijnen, ook harmonische stralenbundel genoemd.
Twee stralen, die op een willekeurige lijn harmonisch toe-
gevoegde punten bepalen, heeten harmonisch toegevoegde
lijnen of stralen. In fig. 27 zijn dus PA en PC harmonisch
toegevoegde stralen. — Evenzoo PB en PD.
§ 52. Stelling. Twee rechte lijnen, die elkaar snijden, vormen
een harmonischen stralenbundel met de lijnen, die de hoeken tusschen
de eerste twee middendoor deelen.
Fig. 28.
Bewijs. Als PC en PD de
lijnen zijn, die hoek APB en
zijn supplement middendoor dee-
len, trekke men een lijn EFH
evenwijdig met PD FP staat
rechthoekig op PD en daarom
ook op FH.
De driehoeken PFH en PFE
hebben nu een zijde PF gemeen
en de aanliggende hoeken gelijk.
Daaruit volgt EF = FH, en dewijl
EH evenwijdig is aan PD, zoo
volgt hieruit (volgens § 50, om-
gekeerd), dat PA, PB, PC en