Boekgegevens
Titel: Beginselen der nieuwere meetkunde
Auteur: Versluys, J.
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1897
5e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 9075
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202217
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der nieuwere meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
34
§ 50. Stelling. Als door een zelfde punt vier lijnen gaan, die
een vijfde harmonisch snijden, dan worden van een transversaal,
evenwijdig aan een der vier lijnen, gelijke stukken afgesneden door
de andere drie; en omgekeerd.
Fig. 27.
Bewijs. Laat A, C, B,
D de vier snijpunten zijn
en EF een lijn, die even-
wijdig loopt met PD, en
die wij tevens door een
dier punten, B, laten gaan.
Uit de gelijkvormige driehoeken ABE en ADP volgt:
AB_EB
AD —PD-
Uit de gelijkvormige driehoeken BCF en DCP volgt:
CB_FB
"CD~PD-
Deze vergelijkingen zijn ook waar ten aanzien der teekens,
als men den regel: dat tegengestelde teekens gegeven worden
aan lijnen van tegengestelde richting, toepast op de lengten van
lijnen, die niet op dezelfde maar op evenwijdige lijnen liggen.
Door deeling van de overeenkomstige leden der twee vergelijkingen
vindt men:
AB CB_EB
AD ■ CD —FB'
Uit deze vergelijking volgt nu het gestelde onmiddellijk. Is
nl. AC harmonisch verdeeld door B en D, dan is het eerste lid
gelijk aan — 1; maar dan is ook het tweede lid gelijk aan — 1;
en dit zegt ons, dat B het midden is van EF.
Weet men omgekeerd, dat B het midden is van EF, dan is
het tweede lid gelijk aan - 1; dus ook het eerste lid, en dit
zegt ons, dat AC harmoniscli verdeeld wordt door B en D.