Boekgegevens
Titel: Beginselen der nieuwere meetkunde
Auteur: Versluys, J.
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1897
5e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 9075
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202217
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der nieuwere meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
33
§ 49. Stelling. Als de lijn AB harmonisch verdeeld wordt door
C en D, dan is de helft van die lijn middelevenredig tusschen de
afstanden van haar midden M tot de toegevoegde punten Q, en U.
Bewijs. Omdat AB liarmoniscli verdeeld wordt door 0 en D,
Fig. 26. heeft men:
_____ AC . BC _
A WD B-c AD • BD ~ '
of AC: AD=z:BC:DB;
volgens een eigenschap der evenredigheden
(AC + BCl : (AC — BC) = (A D + DB) : (AD — DB),
of 2 MC: 2 MB=: 2 MB: 2 MD,
waardoor het gestelde bewezen is.
Omgekeerd: indien de helft der lijn AB middelevenredig is
tusschen de afstanden van het midden dier lijn tot C en D, dan
wordt AB harmonisch verdeeld door C en D.
Bewijs. Uit de evenredigheid
MC: MB=:MB:MD
volgt volgens dezelfde eigenschap der evenrediglieden
(MC + MB): (MC — MB) = (MB + MD): (MB — MD)
of AC:BC=:AD:DB.
AC_BC
AD DB
,. . , AC BC
en hieruit volgt ™ : = —
Op.merkixg. Uit de evenredigheid MC:MB = MB:MD
MC _ M B
® MB"~MD
volgt, dat MD onbepaald aangroeit, als MC tot O nadert, en om-
gekeerd. Als dus een der punten C en D, die de lijn AB harmonisch
verdeelen, nadert tot het midden van die lijn, dan valt het andere
punt hoe langer hoe verder van dat midden; met M zeifis dus
toegevoegd een oneindig ver afliggend punt.
VERSLUYS. Xieuu-ere meetk. 5e drul». 8