Boekgegevens
Titel: Beginselen der nieuwere meetkunde
Auteur: Versluys, J.
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1897
5e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 9075
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202217
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der nieuwere meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
13
men bewijzen wil, dat drie punten in een rechte lijn liggen.
Het theorema van ceva vindt zijn toepassing, waar aange-
toond moet worden, dat drie lijnen door een punt gaan.
De onderscheiding van positieve en negatieve lijnen vindt daarbij
eene belangrijke toepassing. Indien toch bij de vergelijkingen, die
in de twee vorige §§ voorkomen, het produkt der drie verhou-
dingen in het eerste lid positief is, zoo heelt men drie punten,
die in éen rechte lijn liggen. Is daarentegen dat zelfde produkt
negatief, dan heeft men drie lijnen, die door éen punt gaan.
Carnot heeft zijn Theorie der transversalen opgebouwd
uit het theorema van menelaüs en uit dat van ceva.
Wij zullen van deze beide eenige toepassingen geven.
§ 22. Stelling. De lijnen, die de hoeken van een driehoek
vnddendoor deelen, gaan door éen punt.
Bewijs. Zie Fig. 10a. Indien ka den hoek A middendoor
deelt, heeft men
= (negatief).
BC ,
Evenzoo h\~ kti ("e^atief j,
cA AC ,
en JB ~ BC
. ... , aB bC cA , ,„,
vermenigvuldigd - . . _ = _ i......(3).
En hieruit volgt, volgens het theorema van ceva, dat Aa, Bb
Cc door éen punt gaan.
Indien de lijnen Aa, Bb, Cc niet de hoeken van den driehoek,
maar hun supplementen middendoor deelen, dan is elke factor
in het eerste lid van vergelijking (3) positief. Hun produkt is dan
gelijk aan -f-l, en volgens het theorema van menelaüs heeft men
dus: de lijnen, die de buitenhoeken van een driehoek middendoor
deelen, snijden de overstaande zijden in drie punten, die in éen
rechte lijn liggen.