Boekgegevens
Titel: Beginselen der nieuwere meetkunde
Auteur: Versluys, J.
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1897
5e dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 9075
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_202217
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beginselen der nieuwere meetkunde
Vorige scan Volgende scanScanned page
3
f'
§ 6. Stelling. Als A, B, C en D in willekeurige volgorde op
een rechte lijn liggen, heeft men
AB . CD + BC . AD -f- CA . BD = 0.
Om deze betrekking aan te toonen, hebben wij
AB X CD — (AD + DB) CD = AD X CD + DB x CD
BC X AD = (BD + DC) AU = BD X AD + DC X AD
CA X BD rrr (CD + DA) BD rz: CD X BD + DA X BD.
De zes produkten, die in de laatste leden van deze vergelijkingen
voorkomen, verschillen twee aan twee alleen in toestand; b.v.
AD X CD = — DC X AD. De som der zes produkten is dus nul,
en wij vinden door samentelling der drie vergelijkingen
AB X CD-f-BC X AD + CA X BD = 0.
Opmerking. Deze vergelijking kan gemakkelijk onthouden worden,
als men opmerkt, dat de laatste letter van elk produkt D is;
de overige letters zijn
ABC, BCA en CAB,
waarvan het eerste drietal met A begint, het tweede met B en
het derde met C. Daarbij kan men zeggen, dat de letters van elk
drietal opeenvolgende zijn, als men op de derde letter, C, laat volgen
de eerste, A, even alsof de letters in een kring geplaatst waren.
Zulk eene volgorde noemt men cyclisch; door haar in aeht
te nemen, krijgen de meeste formules, die in Algebra of Meet-
kunde voorkomen, een regelmatigen vorm.
§ 7. Veronderstellen wij, dat A, B en P drie punten zijn, die
in een rechte lijn liggen.
Als P tusschen A en B ligt, zooals in Fig. 1, dan zijn de
Tig. 1.
richting van A naar P en die van B naar P tegengesteld.
AP en BP zijn dus lijnen van verschillenden toestand, zoodat