Boekgegevens
Titel: Theorie der rekenkunde ten behoeve van inrichtingen van middelbaar en van kweekscholen voor onderwijzers
Auteur: Greidanus, Tjardus
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1900
3e, verm. en verb. dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2943
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200694
Onderwerp: Wiskunde: wiskunde: algemeen
Trefwoord: Rekenkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Theorie der rekenkunde ten behoeve van inrichtingen van middelbaar en van kweekscholen voor onderwijzers
Vorige scan Volgende scanScanned page
221
5. REI'ETEERENDE BREUKEN.
342. Zooals bekend is, krijgt men bij herleiding van een gewone
breuk tot een tiendeelige een repeteerend getal, wanneer de noemer
der breuk geen factoren van het grondtal bevat, en dus ondeelbaar
is met 10.
Nemen we nu een breuk, wier noemer een ondeelbaar getal is
(maar niet 2 of 5), bijv. dan is volgens het theorema van Fermât,
7 deelbaar op 10® — 1. Bij de herleiding dan van 'j,, dus bij de deeling
van 7 op 1, of wel op een macht van 10, zal men na hoogstens 6
deelingen verricht en dus 6 cijfers in het quotient gevonden te hebben,
1 tot rest krijgen. Hiermede begint dan de deeling geheel van voren
af aan, waaruit blijkt, dat al de cijfers van het quotient in dezelfde
orde terugkeeren, en dat men dus in dit geval een zuiver repeteerende
breuk zal krijgen.
Wanneer de teller der breuk een ander getal is dan 1, (mits ondeel-
baar met den noemer), dan blijkt op dezelfde wijze, dat het weer de
eerste rest is, die terugkeert.
343. Wanneer de periode eener breuk (waarin p een ondeelbaar
getal en niet 2 of 5) minder dan het grootst mogelijke aantal cijfers,
p — 1 telt, zal dit aantal een deeler van p — \ zijn.
Zoo bijv. bevat de periode van '/is niet 12, maar 6 cijfers. Volgens
het theorema van Fermât is 13 deelbaar op 10" — 1, en daar 13 zelf
priem is, ook op een der factoren van dit getal. De factoren van
10" — 1, welke zelf machten zijn van 10 min 1, zijn: 10 — 1, 10' — 1,
10'—1, 10* —1, 10® —1; en derhalve, als de periode niet 12 cijfers
heeft, zal ze 1, 2, 3, 4 of 6 cijfers kunnen hebben, dus een aantal,
dat een deeler is van 12.
344. Even als in 't voorgaande hebben we in 't volgende alleen
breuken met een ondeelbaren noemer op 't oog.
Daar 10 — 1 =: 9 geen anderen ondeelbaren factor heeftdan 3, zullen
alleen de breuken 'Z, en een periode van 1 cijfer opleveren.
Daar 10' — 1 = 99 geen andere ondeelbare factoren heeft dan 3 en
11, kunnen alleen de breuken met den noemer 11 een periode van
2 cijfers opleveren.
Daar 10' — 1 = 999 = 3' X 37 geen andere ondeelbare factoren heeft
dan 3 en 37, kunnen alleen de breuken met den noemer 37 een
periode van 3 cijfers opleveren.
Daar 10* — 1 = (10' — 1) (10' + 1) geen andere ondeelbare factoren