Boekgegevens
Titel: Theorie der rekenkunde ten behoeve van inrichtingen van middelbaar en van kweekscholen voor onderwijzers
Auteur: Greidanus, Tjardus
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1900
3e, verm. en verb. dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2943
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200694
Onderwerp: Wiskunde: wiskunde: algemeen
Trefwoord: Rekenkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Theorie der rekenkunde ten behoeve van inrichtingen van middelbaar en van kweekscholen voor onderwijzers
Vorige scan Volgende scanScanned page
220
macht van het getal, als wordt aangewezen door het aantal deelers
van het getal. Van een getal G = aP b'i c*" is dus het product van
alle deelers gelijk aan
4. theorema van fermat.
SJO. Als j) en a onderling ondeelbaar zijn, en men deelt de termen
der reeks:
a, 2a, 3a,......(p — l)o
door p, dan krijgt men als resten, in een zekere volgorde, de getallen
van 1 tot p — 1.
Daar p ondeelbaar is met a en elk der coëfficiënten van de termen
der reeks < p is, kan geen der deelingen opgaan. Bovendien is bij
een deeling door p de rest op zijn hoogst p — 1.
Wanneer nu twee termen der reeks, bijv. ka en na een zelfde rest
r opleverden, dan zou men hebben:
ka = een veelvoud van p + r
na= „ „ „ p + r
dus door aftrekking:
ka — na=z(k — n) a= een veelvoud van p.
Dit is echter onmogelijk, daar a ondeelbaar is met;) en k — n ook
niet deelbaar is door p, omdat k en n beide < p zijn en dus k — n
ook < p is.
Er kunnen dus geen twee termen in de reeks zijn, die eenzelfde
rest overlaten, en dus moet men in een zekere volgorde al de getallen
van 1 tot p — 1 als resten krijgen.
341. THEOREMA VAN FERMAT. Als p Ondeelbaar is en onderling
ondeelbaar met a, dan is aP -1 — 1 deelbaar door p.
Als men elk der termen der reeks:
a, 2a, 3a,.......ip ~
deelt door p, dan krijgt men in een zekere volgorde als resten de
getallen 1, 2, 3,.....(p-1)-
Elk der termen der reeks is dus gelijk aan een veelvoud van p
plus een dezer resten, en na vermenigvuldiging van al de termen der
reeks heeft men dus:
1.2.3____(p — l)aï'-'i = een veelv. va.np +1.2.3____(p — 1);
of wel:
1 . 2 .3 .... (p — 1) j aP -'' — 1} = een veelvoud van p.
Omdat nu p ondeelbaar is, kan het product 1.2.3.....(p — 1)
niet deelbaar zijn door p en moet dus aP-i — 1 deelbaar zijn door^.