Boekgegevens
Titel: Theorie der rekenkunde ten behoeve van inrichtingen van middelbaar en van kweekscholen voor onderwijzers
Auteur: Greidanus, Tjardus
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1900
3e, verm. en verb. dr
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2943
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200694
Onderwerp: Wiskunde: wiskunde: algemeen
Trefwoord: Rekenkunde, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Theorie der rekenkunde ten behoeve van inrichtingen van middelbaar en van kweekscholen voor onderwijzers
Vorige scan Volgende scanScanned page
196
305. Wanneer men van Z getallen, die een rekenkundige reeks uitmaken
de omgekeerden neemt, zijn deze getallen harmonisch evenredig. En om-
gekeerd.
Heeft men bijv. de getallen 21, 12 en 3, die een rekenkundige reeks
vormen, dan is;
21-12 = 12-3.
Deelt men elk lid van deze vergelijking door het gedurig produet
van 21, 12 en 3, dan verkrijgt men:
21 12 12 3
of:
21X12X3 21X12X3^21X12X3 21X12X3'
1111
12 X 3 21 X 3 ^ 21 X 3 21 X 12"
Hiervoor kunnen we schrijven:
Va C/nV^. C/a-V,2),
en hieruit kunnen we de evenredigheid stellen:
Va : '/..= (Va :
waaruit blijkt, dat de getallen '/a, V12 V21 harmonisch evenredig zijn.
De omgekeerde eigenschap wordt nagenoeg op dezelfde wijze bewezen.
306. Wanneer van een rij van getallen elke drie op elkander vol-
gende, harmonisch evenredig zijn, noemt men die rij een harmonische
reeks. Men krijgt dus volgens no. 305 een harmonische reeks, wanneer
men de omgekeerden neemt van de termen van een rekenkundige reeks.
Heeft men 3 harmonisch evenredige getallen, bijv. 28, 7 en 4,
zoodat:
28 : 4 = (28 - 7) : (7 - 4),
en men vermenigvuldigt eiken term dezer evenredigheid met een
willekeurig getal 5, dan verkrijgt men:
28 X 5 : 4 X ö = (28 X 5 - 7 X 5) : (7 X 5 - 4 X 5),
waaruit volgt, dat nu ook de drie getallen 28 X 5, 7X5 en 4X5
harmonisch evenredig zijn.
Hieruit volgt, dat, als men de termen eener harmonische reeks
met eenzelfde getal vermenigvuldigt (of ook door eenzelfde getal deelt)
de komende getallen een nieuwe harmonische reeks uitmaken. En
verder vloeit hieruit voort, dat men een harmonische reeks verkrijgt, als
men de termen eener rekenkundige reeks alle op een zelfde getal deelt.
307. Men zegt van 4 getallen, dat ze harmonisch evenredig zijn,
als het eerste getal staat tot het vierde, gelijk het verschil van het eerste
en tweede tot het verschil van het derde en vierde getal.