Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
§ 76, 77. ft.3
De vergelijking 14, 2) door 2K gedeeld, laat zich aldus schrijven
1 ,%(z + y) 1 dM 1 dM _ ê,{y) êSz + y)
2K ,Uz + y) 2K ê„{z} 2K êM " 2K^„ ê„iz) êM &,(z + y)
v v.
Stelt men hierin 2 = y — dan wordt het eerste lid blijkens
LVII) gelijk aan E(v + v,) — E(«;) — E(v,). In het tweede lid kan men door
raiddel van 54, 2) de functie sn invoeren, waardoor het overgaat in
--j^g v^^r breuk is volgens 54, 1) en VII) gelijk
ê *
aan = , zoodat wij ten slotte hebben
E(i) + V,) = E(») + E(t;,) — k'^snv snv^ sn{v + »,), 1)
welke vergelijking het additietheorema van de functie E(i/-) tiitdrukt. De
vergelijkingen LIX) zijn bijzondere gevallen hiervan.
Stelt men snv ~ simp, dan is E — ^ k*sin*(p,
dus d E(w) = — k'^sin^q)).
Is nu k een positieve tusschen O en 1 gelegen grootheid, dan volgt
hieruit, daar = 0 met cp — O en « = K met (p — \ji overeenkomt,
Vi't
^=1 d(py{l- k^sin^cp).
0
In het ontaardingsgeval k — O, neemt de afgeleide van E(i;) de constante
waarde 1 aan, en gaat de functie zelve dus over in v. De E wordt dan
gelijk aan K = \n.
V ^V g ~"
Voor k—1 wordt E(r;) • f —--^^ ^ —-De E neemt hier
ö {e +e )' e'+e "
de waarde 1 aan.
Zoolang k positief en tusschen O en 1 blijft, neemt E blijkens 2)
steeds af, als k toeneemt. Zij blijft dus voortdurend tusschen de betrek-
kelijk enge grenzen 1 en \n ingesloten.
De functie E(r) zelve neemt in dit geval voor reëele v met v voort-
durend toe.
60. Om de functie E{i;) in f en jö uit te drukken, kan men aldus te
werk gaan.
Men heeft —als , dus —M = —e,)
y(p(u)-e^) 2(o,' ft»!
is. Derhalve is
= MK(e, - 63) - (e, - - e,)f ^^ •
Maar men heeft ook -_ «3]—^ ^^ ^^^^