Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
68 I 53, 54.
De functie Cii''^) verdwijnt, evenals de beide andere, voor m = 0.
Is e.2 negatief, dan heeft de afgeleide — p{u + m,) steeds hetzelfde
teeken en wel het positieve. De functie neemt dan voortdurend toe,
zonder anders dan voor m = oo oneindig groot te kunnen worden, zooals
uit de eerste vergelijking LUI) blijkt. Ook de waarde O kan zij alleen
aannemen voor m = 0.
Is echter e, positief, dan wordt de afgeleide in elke periode tusschen
2ncüi en 2(n + l)a), tweemaal gelijk aan nul, en de functie zelve heeft
in elke periode een maximum en een minimum. Het zal nu kunnen
gebeuren, dat de functie, behalve voor u = 0 nog voor andere waarden
van u verdwijnt.
Wij zullen later als voorbeeld van numerieke berekening de waarden
van q' bepalen, waarvoor eenige der maxima en minima van deze functie
gelijk aan nul zijn. Wij zullen dan vinden, dat het eerste minimum
gelijk aan nul wordt als g'= 0,0091050, het tweede, derde, vierde en
vijfde als = 0,0047466, 0,0038215, 0,0034286, 0,0032129 wordt. Zoo
lang nu q' > 0,0091050 is, zijn alle minima positief en kan de functie
alleen voor u = 0 verdwijnen. Is 0,0091050 > q' > 0,0047466, dan
is het eerste miniumum, en dit aUeen, negatief en tusschen co, en 2co,
liggen nog twee wortels van de vergelijking = 0. Telkens als q'
afnemende een van de getallen van de rij, waarvan hier de eerste vijf
termen zijn aangegeven, overschrijdt, neemt het aantal wortels van deze
vergelijking met twee toe. De termen der rij naderen tot de limiet
0,0024766, die voor q' genomen de functie periodiek en het aantal wortels
van = O oneindig groot maakt.
Er bestaat een dergelijke rij van waarden voor waarbij de maxima
der functie gelijk nul worden. De eerste vijf termen van deze rij zijn
0,0006732, 0,0012914, 0,0016046, 0,0017885, 0,0019088. Is 7, nu kleiner
dan 0,0006732, dan zijn alle maxima en minima negatief, behalve het
eerste maximum, dat natuurlijk nooit gelijk aan nul kan worden (behalve
in het ontaardingsgeval q = 0, waarvoor Csi^*) de constante waarde O
krijgt). Behalve u — O heeft Csi^t) — O nog een wortel tusschen O en co,,
en geen andere. Telkens als q' toenemende een van de termen der
tweede rij overschrijdt, neemt het aantal waarden van u, waarvoor f3(m)
verdwijnt, met twee toe.
De tweede rij heeft met de eerste de limiet 0,0024766 gemeen,
waarvoor dat aantal oneindig groot wordt.
54. Ook bij de functie Cj(m) moeten wij onderscheid maken tusschen
de gevallen e, negatief en e, positief. In het eerste geval is de afgeleide
— P(u + co^) steeds positief en neemt de functie van hare beginwaarde O
af steeds grooter wordende positieve waarden aan. Is echter e^ positief,